关于证明所有群的全体不构成集合的技术问询

大家都知道，所有集合的全体并不构成一个集合——证明思路是先假设这样的集合存在，然后用受限概括公理，或者用“没有集合能包含自身”这个推论，导出矛盾。

我最近在想一个问题：既然所有集合的类可以嵌入到所有群的类里，那直觉上所有群的全体也应该不构成集合，但要怎么给出正式的证明呢？常规的罗素悖论式证明好像行不通，因为所有群的类里的元素都是形式化的元组，就算假设存在“所有群的集合”，这个集合本身也不是一个群，没法用自指矛盾那套逻辑。

有没有什么简单的论证能说明“所有群的集合不存在”？最通用的思路应该是单射类函数会保持“真类”的性质，但我自己集合论知识有限，搞不定这个证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Carlyle