关于Achim Klenke《概率论》中定理6.7收敛性证明的双向疑问

我对下面这个收敛性证明的两个方向都有点搞不懂：

正向方向的疑问 #

我想知道怎么得到第一个不等式，也就是：
$$\tilde{d}_N(f,f_n)\leq \mu(A_N\cap{d(f,f_n)>\varepsilon})+\varepsilon\mu(A_N)$$

我目前的推导过程是这样的：
$$\tilde{d}N(f,f_n)=\int{A_N\cap { d(f,f_n)>1 }} d(f,f_n)d\mu+\int_{A_N\cap { d(f,f_n)\leq 1 }} 1d\mu$$
$$=\int_{A_N\cap {d (f,f_n)>1 }} d(f,f_n)d\mu+\mu(A_N\cap { d(f,f_n)\leq 1 }) $$

然后我推导了两个不等式：

• $\int_{A_N \cap {d(f,f_n)>1}} d(f,f_n) d\mu \leq \int_{A_N \cap {d(f,f_n)>\varepsilon}} d(f,f_n) d\mu$
• $\mu( A_N \cap {d(f,f_n)\leq 1}) \leq \mu(A_N)$

但我觉得这个思路走不通，因为在积分区域上$d(f,f_n)>1$，所以这个$d(f,f_n)$的积分肯定比$\mu(A_N \cap {d(f,f_n)>\varepsilon})$要大；而且$\mu(A_N)$也明显大于$\varepsilon\mu(A_N)$，这样根本凑不出目标不等式的形式，实在不知道哪里出问题了。

反向方向的疑问 #

反向方向的问题我之前看到有人问过，但我还是想确认一下：那个被采纳的解法真的是原本预期的证明思路吗？感觉这个过程太繁琐复杂了，怎么看都不像是可以一笔带过的步骤啊？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者modz