关于$S^1\times S^2$上挠性$\mathrm{Spin}^c$结构的技术问询

嗨，这个问题确实容易让人卡壳——我先帮你梳理基础，再结合Zemke论文的语境来解释。

首先，你的初始理解完全正确：对于闭定向流形$M$，$\mathrm{Spin}^{c$结构的集合$\mathrm{Spin}}c(M)$是一个仿射空间，以$H^{2(M;\mathbb{Z})$为模。而$S}1\times S^{2$是两个$\mathrm{Spin}$流形的乘积，本身也是$\mathrm{Spin}$流形（$w_2(M)=0$），这时候我们可以把$\mathrm{Spin}}c(M)$和$H^{2(M;\mathbb{Z})$一一对应起来——每个$\mathrm{Spin}}c$结构对应它的第一陈类$c_1(\mathfrak{s})\in H^{2(M;\mathbb{Z})$。而$H}2(S^1\times S^{2)\cong\mathbb{Z}$，确实没有非平凡的挠性元素，那论文里的“挠性$\mathrm{Spin}}c$结构”到底指什么？

这里的关键是论文的研究语境：Zemke的这篇文章聚焦纽结的ribbon concordance，涉及带边流形的$\mathrm{Spin}^{c$结构及其在边界上的限制。所谓的“挠性$\mathrm{Spin}}c$结构”，并不是指$H^2(S1\times S^2)$里的挠性元素，而是指：

• 相对于某个**带边协边（concordance cobordism）**来说，这个$\mathrm{Spin}^{c$结构是“挠性的”——也就是说，存在一个协边$W$，边界是$S}1\times S^2 \sqcup (-S^1\times S^{2)$，使得该$\mathrm{Spin}}c$结构能在$W$上延拓，且延拓后的结构在另一侧边界对应平凡结构；
• 或者在纽结Floer同调框架下，当把$S^1\times S^{2$看作某个有理同伦球的边界时，$\mathrm{Spin}}c$结构的等价类在Floer同调的群结构中是挠性的——即这个类的某个倍数对应平凡结构。

另外也可能是术语混淆：有时候人们会把“$\mathrm{Spin}^{c$结构的挠性部分”理解为**第一陈类在有理同调中平凡**的结构，但对$S}1\times S^{2$来说，$c_1(\mathfrak{s})$在$H}2(M;\mathbb{Q})$中平凡当且仅当$c_1(\mathfrak{s})=0$，也就是平凡$\mathrm{Spin}^c$结构，显然不是论文要表达的意思。

回到Zemke的论文，他在讨论ribbon concordance的障碍时，用到了$\mathrm{Spin}^{c$结构在边界的限制，以及这些结构在Floer同调中的作用。这里的“torsion”本质是指**该$\mathrm{Spin}}c$结构在Floer同调群中对应的元素是挠性的**，而非$\mathrm{Spin}^{c$结构本身作为$H}2$中的元素是挠性的。

总结一下：你关于$\mathrm{Spin}^{c$结构与$H}2(S^1\times S^{2)$对应的初始理解完全正确，论文里的“挠性$\mathrm{Spin}}c$结构”是协边或Floer同调语境下的术语，描述的是结构在相关群结构中的挠性性质，而非$H^2$中的挠性元素。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者horned-sphere