有限域上椭圆曲线m-挠群结构的命题验证疑问及Sage实现求助

我在De Feo的论文里看到了命题4的内容，原文是这样的：

设$E$是定义在域$k$上的椭圆曲线，$m\neq0$是整数。$E$的$m$-挠群记为$E[m]$，其结构如下：

• 若$k$的特征不整除$m$，则$E[m]\simeq(\mathbb Z / m \mathbb Z)^2$；
• 若$k$的特征为$p>0$，则对任意$i\geq0$，有
  $$
  E[p^i] \simeq
  \begin{cases}
  \mathbb Z/p^i\mathbb Z & \textrm{或} \
  { \mathcal O } &
  \end{cases}
  $$
  此外，若对任意$i\geq0$都有$E[p^i]\simeq {\mathcal O}$，则称该椭圆曲线为超奇异椭圆曲线，其余的则称为普通椭圆曲线。

但我实在搞不懂这个定理为什么成立，而且在Sage里也没法复现这些结论，特来求助。

我对相关定义的理解 #

就我目前的认知：

• 有理数域上椭圆曲线的挠子群就是所有有限阶点的集合，这些点可以用Nagell-Lutz定理找到；
• $m$-挠群应该就是满足$[m]P=\mathcal O$的点$P$的集合，所以2-挠点肯定满足$y=0$。

我遇到的反例 #

第一个反例：$\mathbb F_{17}$上的$E:y^2=x3+1$，$m=2$

$k=\mathbb F_{17}$的特征是17，显然不整除2，按照命题应该有$E[2]\simeq(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$，也就是$E[2]$应该有4个元素。但我用Sage跑了代码，结果只有2个点：

m = 2
k = GF(17)
E = EllipticCurve(k, [0, 1])
print([pt for pt in E.points() if m*pt == E(0, 1, 0)])

这个结果和命题的结论不符，我完全搞不懂哪里出问题了。

第二个反例：$\mathbb F_{13}$上的同一条曲线$E:y^2=x3+1$

Sage告诉我这条曲线在$\mathbb F_{13}$上是普通椭圆曲线，按照命题，应该有$E[13^i]\simeq\mathbb Z/13^i\mathbb Z$对任意$i\geq0$成立，但我用类似的代码跑出来，$E[13^i]$里只有单位元$\mathcal O$。

我的另一个想法 #

我看到很多资料里都提到了$k$的代数闭包$\bar k$，但我不明白这和De Feo的命题有什么关系，而且有限域的代数闭包上的椭圆曲线性质和原域上的差很多，Sage里处理起来也不一样，这部分实在摸不着头脑。

我想请教的问题 #

恳请大佬们帮我解答以下任意一个问题：

1. De Feo的这个命题背后的推导逻辑是什么？
2. 怎么判断一条曲线是超奇异的？在Sage里怎么通过点的阶来验证？
3. 我上面的反例里到底哪里错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jorisperrenet