关于非平凡对称群中存在单射部分对换序列的证明咨询

我正在研究对称群中的对换序列问题，想请教社区里的各位有没有思路。先明确一下相关定义：

Let $S_n$ be the symmetric group, and $e\in S_n$ the identity permutation. Let $\pi_i\in S_n$ be transpositions in the group.

对换序列与部分对换序列的定义 #

• 对换序列：指一组对换的复合，满足最终结果为单位置换：
  $$\overset{n!}{\underset{i=1}{\bigcirc}}\pi_i=\pi_{n!}\circ\cdots\circ \pi_1=e$$
• 部分对换序列：定义映射 $\sigma:\mathbb{N}{<n!}/{0}\rightarrow S_n$，其中：
  $$\sigma(k)=\overset{k}{\underset{i=1}{\bigcirc}}\pi_i=\pi{k}\circ\cdots\circ\pi_1$$
  这里的 $k\in \mathbb{N}_{<n!}/{0}$。

核心问题 #

是否可以证明：对于每个非平凡的 $S_n$，都存在一个对换序列，使得它对应的部分对换序列 $\sigma$ 是单射的？

已验证的小群情况 #

前三个对称群的情况比较直观：

• $n=1$：群本身是平凡群，不在讨论范围内。
• $n=2$：定义完整对换序列为 $\tau\circ \tau=e$，其中 $\tau=\begin{pmatrix}1 &2\2&1\end{pmatrix}$。它的部分序列只有一个元素，显然是单射的。
• $n=3$：我们使用以下对换：
  $$\rho_1=\begin{pmatrix}2&1&3\1&2&3\end{pmatrix}, \rho_2=\begin{pmatrix}1&2&3\1&3&2\end{pmatrix},\rho_3=\begin{pmatrix}1&2&3\3&2&1\end{pmatrix}$$
  令 $\rho_4=\rho_1$、$\rho_5=\rho_2$、$\rho_6=\rho_3$，则完整对换序列 $\overset{6}{\underset{i=1}{\bigcirc}}\rho_i=e$，对应的部分序列是单射的。

猜想与当前困惑 #

我正在尝试验证 $n=4$ 的情况，并且猜测可以用归纳法来构造一般 $S_n$ 的证明。我的猜想是：每个 $S_n$ 都存在单射的部分对换序列，但可能无法保证对应的完整对换序列一定存在？更准确地说：即使我们有一个覆盖了所有 $n!-1$ 个非单位元的单射部分序列，可能不存在某个对换 $\pi\in S_n$ 使得：
$$\pi\circ\overset{n!-1}{\underset{i=1}{\bigcirc}}\pi_i=e$$

各位有没有相关的思路或者可以参考的方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Simón Flavio Ibañez