Hausdorff拓扑空间中保核收缩子空间闭性的证明验证

问题：设$X$是Hausdorff拓扑空间，$A$是$X$的子空间。若存在连续映射$f:X\to A$使得$f|_A=\text{id}_A$（即$f$是$A$的保核收缩），证明$A$是$X$中的闭集。

你的第三尝试证明： #

因为$X$是Hausdorff空间，所以对角线$\Delta_X={(x,x)\in X\times X \mid x\in X}$在$X\times X$的乘积拓扑下是闭集。

设$\Gamma_f={(x,f(x))\in X\times A \mid x\in X}$为映射$f$的图像。

由假设$f|_A=\text{id}_A$，可知$\Gamma_f\cap \Delta_X=\Delta_A={(x,x)\in X\times X \mid x\in A}$。

根据子空间拓扑的定义，由于$\Delta_X$是闭集，$\Delta_A$在$\Gamma_f$中是闭集。此外，$f$连续，故存在同胚$\phi:X\to \Gamma_f$，定义为$\phi(x)=(x,f(x))$。特别地，$\phi$连续，因此$\phi^{-1}(\Delta_A)=A$是$X$中的闭集。

证明验证与点评： #

你的这个证明思路完全站得住脚！不过有几个小细节可以再打磨得更严谨：

• 首先，$\Gamma_f$是$X\times A$的子空间，而$X\times A$本身又是$X\times X$的子空间，所以$\Delta_X$在$X\times X$中闭，它和$\Gamma_f$的交集$\Delta_A$自然就是$\Gamma_f$中的闭集——这完全符合子空间闭集的定义，没问题。
• 关于$\phi:X\to \Gamma_f$是同胚这一点，可以稍微补充下理由：$\phi$是双射（每个$x$对应唯一的$(x,f(x))$，反过来$\Gamma_f$里的每个元素都能唯一对应到第一个分量$x$）；$\phi$连续是因为它是恒等映射$\text{id}_X$和连续映射$f$的乘积映射在$\Gamma_f$上的限制；而$\phi$的逆映射就是投影映射$\pi_1:X\times X\to X$在$\Gamma_f$上的限制，投影映射在乘积拓扑下本来就连续，所以逆映射也连续，因此$\phi$确实是同胚。
• 最后一步，因为连续映射会把闭集的原像映射为闭集（这是连续映射的基本性质），$\phi$连续，$\Delta_A$在$\Gamma_f$中闭，所以它的原像$\phi^{-1}(\Delta_A)=A$自然就是$X$中的闭集，这一步逻辑很顺畅。

整体来看，这个证明利用了Hausdorff空间的对角线闭性、连续映射的图像性质以及同胚的拓扑不变性，是个相当巧妙的证明思路，完全正确！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sigma Algebra