关于Stein《实分析》中闭立方体外测度等于体积证明的一处疑问

我正在读Stein和Shakarchi的《实分析》，在第11页，作者给出了闭立方体的外测度等于其体积的证明。我能理解整个论证过程，但有一个地方一直困扰着我，具体如下：

设$Q$是我们讨论的闭立方体，显然有$m_(Q) \leq v(Q)$，其中$m_(Q)$是外测度。接下来只需要证明$v(Q) \leq m_*(Q)$。

作者说，考虑任意一个可数立方体覆盖$Q \subset \cup_{j=1}^{\infty}Q_j$，然后他认为只需要证明：
$$ v(Q) \leq \sum_{j=1}^{\infty} v(Q_j)$$

这就是我不理解的地方。为什么证明这个就足够了？$m_*(Q)$的定义是所有可数立方体覆盖的体积和的下确界，我觉得“对任意一个覆盖都证明$v(Q)$小于等于该覆盖的体积和”，并不能直接推出$v(Q)$小于等于这些体积和的下确界。我哪里弄错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John