关于构造满足特定不分歧条件的数域有限扩张的技术问询

设$K$为数域，$S$为有限素数集合。是否存在$K$的有限扩张$M$，使得对$K$的所有$n$次扩张$L$，$LM/M$在$S$上方的素数处均不分歧？

我目前想到了一种能覆盖所有温和分歧的$L$的构造方法，核心用到了Abhyankar引理：

• 对局部域来说，如果$L/K$是温和分歧的，且分歧指数$e(L/K)$整除$e(M/K)$，那么$LM/M$是不分歧的。
• 基于这个结论，我们可以取$M$为$S$中每个素数处的全分歧扩张（次数为$n!$）的合成域，这样$e(M/K)=n!$，而任何$n$次扩张$L/K$的分歧指数$e(L/K)$必然整除$n!$，因此能满足$LM/M$在$S$上方素数处不分歧的要求。

不过对于一般情况（包括非温和分歧的$L$），我还没想到可行的构造方法，想请教有没有其他思路能解决这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user246336