关于模2系数下Moore空间扩充幂同调计算矛盾的技术咨询
我最近研究Goro Nishida 1973年的论文《The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres》时，碰到了模2系数下Moore空间扩充幂同调计算的矛盾点，想请教大家问题出在哪：
首先梳理下相关背景和已知结论：
Nishida在这篇论文中计算了包括扩充幂同调在内的多项内容。
定义Moore空间 $M_k = S^k \cup_2 D^{k+1}$，这是循环群$\mathbb{Z}/(2)$在k维的Moore空间；记$D_n(M_k) = (E\Sigma_n)_+\wedge (M_k)^{\wedge n}$为$M_k$的n次扩充幂。
两条核心结论
其一，Nishida指出，在**$0<i<n/2$**的范围内，存在同构：
$$H_{nk+i}(D_n(M_k);\mathbb{Z}/(2))\cong \mathcal{A}_2^i,$$
这里是作为$\mathbb{Z}/(2)$-模到模2Steenrod代数的同构。其二，$D_n(M_k)$的模2同调有一个由Dyer-Lashof运算给出的基：
设$x,y$是$\tilde H_*(M_k;\mathbb{Z}/(2))$的一组基，满足$|x|=k,|y|=k+1$，有一个经典结论：作为交换分次代数，$H_(Q(M_k);\mathbb{Z}/2)$由对$x$和$y$迭代应用Dyer-Lashof运算生成，也就是形如$QI(x)$和$QJ(y)$的元素，其中$I,J$是可容许的，且满足超额条件$e(I)>k,e(J)>k+1$（$Q(M_k)$是与$M_k$关联的无限环空间）。
而$D_n(M_k)$的同调对应于$H_(Q(M_k);\mathbb{Z}/(2))$中由高度为n的单项式生成的子模$A(n)_*$。
我遇到的矛盾情况
我取了一组具体值验证：$n=10, k=5, i=2$，按照上面的结论应该有：
$$A(10){52} = A(n){nk+i} \cong H_{nk + i}(D_n(M_k);\mathbb{Z}/(2)) \cong \mathcal{A}_2^i= \mathcal{A}_2^2 ,$$
但实际计算的结果却出现了矛盾：
- 左边的$A(10)_{52}$秩为4，生成元为 $x{8}y2, x8Q7x, x6Q6xQ^6x, x7yQ6x$；
- 右边的$\mathcal{A}_2^2$秩为1，生成元为 $\text{Sq}^2$。
我现在想搞清楚：这两条计算$D_n(M_k)$同调的路径哪一条出了错？还是我忽略了什么容易漏掉的细节？另外也想问问，我是否应该把这个问题发布到MathOverflow上？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Julius J.
