含参数α的无穷级数收敛性分析求助

我最近在分析这个依赖实数参数$\alpha$的无穷级数收敛性，卡了好久，有没有大佬能帮我看看呀？问题是要判断下面这个级数的敛散性：

$$\sum_{n\geq 1}^{{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\alpha\cdot\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right),\ \alpha\in\mathbb{R}$$

我自己已经推导出了一部分结论，先跟大家说说我的思路和遇到的问题：

一、α>2时，我证明了级数收敛 #

首先我把通项做了变形：
$$a_n=\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^\alpha}\cdot\ln\frac{n+2}{n+1}$$
然后基于两个关键点用阿贝尔判别法得出收敛结论：

• $\ln\frac{n+2}{n+1}$是严格递减的数列，且当$n\to\infty$时极限为0
• 级数$\sum_{n=1}^{\infty\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\alpha}$在$\alpha>2$时是收敛的

结合这两点，通过阿贝尔判别法就能推出原级数收敛。

二、α<-2时，我的推导拿不准 #

我尝试这样分析：令$\beta=-\alpha$（此时$\beta>2$），把通项改写后求极限：
$$L = \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^\alpha\cdot\ln\frac{n+2}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\beta}}\ln\frac{n+2}{n+1}$$
接着做了变形处理：
$$L=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^\beta\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\frac{1}{n+1}}\cdot\frac{1}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^\beta}{n+1} \neq0, \text{ 当 }\beta\geq2\Rightarrow\alpha\leq -2$$
我得出α<-2时级数不收敛，但不确定这里把$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\frac{1}{n+1}}$替换成1是否合法，这一步有没有问题呀？

三、α∈(-2,2]区间完全没思路 #

对于$\alpha$在$(-2,2]$这个区间里的情况，除了$\alpha=0$的情况比较容易分析之外，其他的我完全不知道该怎么证明收敛或者发散，这部分真的需要大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J__n