关于正合序列0→ℤ/2ℤ→A→B→X→0中X同构性的技术问询

各位好，我最近研究椭圆曲线时碰到了这个问题，出自Silverman的《椭圆曲线算术》第350页——具体场景是：对于数域$K$上的椭圆曲线$E/K$，取$A=E(K)$，$B=E'(K)$，中间的映射$\phi:A\to B$是一个2次同源，这里$r=\text{rank}(E/K)$，$T\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

由此引申出一个更一般的代数问题，想跟大家探讨：
给定正整数$r$和有限群$T$，已知交换群$A\cong\mathbb{Z}^r\times T$，$B\cong\mathbb{Z}^r\times T$，并且存在如下正合序列：
$$0\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to A\to B\to X\to 0$$
我们能不能得出$X\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的结论？

我自己先做了部分分析：

• 当$r=0$时，$A$和$B$都是有限群，对同态$A\to B$应用同构定理，可以确定$X$的阶为2，所以此时结论成立。
• 但对于$r>0$的一般情况，我没办法确定$X$的阶一定是2，也没法笃定它就同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，想请教各位的看法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Poitou-Tate