覆叠映射下连通拓扑空间中点的原像的基数

嗨，我来帮你把这个证明的关键步骤理清楚！你已经找对了核心思路——利用X的连通性，证明集合$A=\left{ x\in X:\left|p^{{-1}\left({x}\right)\right|=\lambda\right}$（其中$\lambda=|p}{-1}({x_0})|$，$x_0$是X中某定点）既是开集又是闭集，这样因为连通空间里非空的既开又闭子集只能是整个空间，自然所有点的原像基数都相等。下面具体说怎么证A的开性和闭性：

证明A是开集 #

• 任取$x\in A$，因为$p:Y\to X$是覆叠映射，根据定义，$x$存在一个均匀覆叠邻域$U$，也就是说$p^{-1}(U)$可以分解为若干个互不相交的开集${V_i}_{i\in I}$的并集，并且每个$V_i$都被$p$同胚映射到$U$。
• 由于$p|_{V_i}:V_i\to U$是同胚（双射且连续可逆），所以每个$V_i$中恰好包含一个$p^{{-1}({x})$中的点，因此$|p}{-1}({x})|$等于集合${V_i}$的个数，也就是$\lambda$。
• 对于$U$中的任意一点$x'$，同样的道理，每个$V_i$里恰好有一个$p^{{-1}({x'})$的点，所以$|p}{-1}({x'})|=\lambda$，这就说明$U\subseteq A$。
• 因为$x$是A中任意一点，都能找到这样的邻域U包含于A，所以A是开集。

证明A是闭集（等价于证明$X\setminus A$是开集） #

• 任取$x\in X\setminus A$，同样根据覆叠映射的定义，$x$有一个均匀覆叠邻域$U$，$p^{-1}(U)=\bigcup V_i$，每个$V_i$同胚于$U$。
• 此时$|p^{{-1}({x})|=k\neq\lambda$，而对于$U$中的任意$x'$，每个$V_i$里恰好有一个$p}{-1}({x'})$的点，所以$|p^{-1}({x'})|=k\neq\lambda$，即$U\subseteq X\setminus A$。
• 这说明$X\setminus A$中的每个点都有包含于自身的邻域，所以$X\setminus A$是开集，从而A是闭集。

最后一步：利用连通性 #

因为X是连通空间，而A是非空集合（包含$x_0$），同时A既开又闭，根据连通空间的性质，这样的子集只能是X本身。因此对于所有$x\in X$，$|p^{-1}({x})|=\lambda$，也就是任意两个点的原像基数相等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DJ Forklift