开映射定理反例中恒等算子非开性的证明思路修正问询

这个例子的核心是为了展示开映射定理（Banach空间之间的满射有界线性算子必为开映射）要求两个空间都是Banach空间的必要性。具体设定如下：

• 设 $Y$ 是任意带范数 $||\cdot||$ 的Banach空间，$X$ 是和 $Y$ 相同的向量空间，但赋予新范数 $||x||_\omega := ||x|| + |\omega(x)|$，其中 $\omega$ 是某个不连续线性泛函。
• 考虑恒等算子 $\operatorname{Id}: X \to Y$，我们需要证明它是有界双射，但不是开映射。

有界且双射的证明 #

• 双射性是显然的：恒等映射既是单射也是满射。
• 有界性直接由不等式推导：对任意 $x \in X$，$||\operatorname{Id}(x)||Y = ||x|| \leq ||x|| + |\omega(x)| = ||x||\omega$，因此算子范数 $||\operatorname{Id}|| \leq 1$，满足有界性的定义。

非开性的证明困境与修正思路 #

原思路是找一个在 $X$（$\omega$-范数下）开的集合，它在 $Y$（原范数下）不是开集。最初选择了 $\omega$-范数下的开球 $B_\omega(0,1) = {x \in X \mid ||x||\omega < 1}$，想要证明它在原范数下不是开集——即存在点 $y \in B\omega(0,1)$，使得对任意 $\varepsilon>0$，原范数下的开球 $B(y,\varepsilon)$ 都与 $B_\omega(0,1)^C$（$B_\omega(0,1)$ 的补集）相交。

原思路尝试选 $y=0$，但遇到了问题：虽然 $\omega$ 不连续意味着对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x \in X$ 使得 $|\omega(x)| > \varepsilon ||x||$，但无法同时满足 $||x|| < \varepsilon$ 且 $||x||_\omega \geq 1$（因为 $||x||$ 太小的话，即使 $|\omega(x)|$ 相对较大，总和也未必超过1）。

修正后的可行证明步骤 #

这里的关键是利用不连续线性泛函必无界的性质：存在序列 ${x_n} \subset X$，使得 $||x_n|| = 1$，但 $|\omega(x_n)| \to +\infty$。我们用这个序列来构造所需的点：

1. 对任意给定的 $\varepsilon>0$，取足够大的 $n$，使得 $|\omega(x_n)| > \frac{1}{\varepsilon} + 1$（由于 $|\omega(x_n)|$ 趋向无穷，这样的 $n$ 一定存在）。
2. 定义 $z_n = \frac{\varepsilon}{2} x_n$，此时 $||z_n|| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$，即 $z_n$ 属于原范数下的开球 $B(0,\varepsilon)$。
3. 计算 $\omega$-范数：
   $$
   ||z_n||\omega = ||z_n|| + |\omega(z_n)| = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} |\omega(x_n)| > \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \left( \frac{1}{\varepsilon} + 1 \right) = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \frac{1}{2} + \varepsilon
   $$
   只要取 $\varepsilon < \frac{1}{2}$，就有 $||z_n||\omega > 1$，即 $z_n \in B_\omega(0,1)^C$。
4. 这就说明：对任意 $\varepsilon>0$，原范数下包含0的开球 $B(0,\varepsilon)$ 中，总有属于 $B_\omega(0,1)^C$ 的点。
5. 而 $0 \in B_\omega(0,1)$，但原范数下任何包含0的开球都无法完全包含在 $B_\omega(0,1)$ 内，因此 $B_\omega(0,1)$ 在 $Y$ 的原范数下不是开集。
6. 由于 $\operatorname{Id}$ 将 $X$ 中的开集 $B_\omega(0,1)$ 映射为 $Y$ 中的非开集，因此 $\operatorname{Id}$ 不是开映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者soggycornflakes