求解指定极限并澄清泰勒展开相关疑问

问题描述 #

求极限：
$$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[4]{4x+1}}{\arcsin(x(e^x-1))}$$

你的尝试分析 #

你一开始的等价替换推导是没问题的：
$$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[4]{4x+1}}{\arcsin(x(e^{x-1))}\cdot\dfrac{x(e}x-1)}{x(e^{x-1)}\=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[4]{4x+1}}{x(e}x-1)}\cdot\dfrac{x}{x}\=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[4]{4x+1}}{x^2}$$
因为当$x\to0$时，$\arcsin(u)\sim u$（$u\to0$），同时$e^x-1\sim x$，所以$x(e^x-1)\sim x^2$，这部分的转化完全正确。

不过你后续的泰勒展开计算出现了系数错误，先帮你澄清$O(x^3)$的含义，再修正展开式。

关于$O(x^3)$的含义 #

*大O符号（$O$）*在泰勒展开里代表高阶无穷小，直白来说：当$x\to0$时，$f(x)=O(x^3)$意味着存在一个正数$C$和$x=0$附近的小邻域，使得$|f(x)|\leq C|x^{3|$。简单理解就是，$f(x)$趋近于0的速度比$x}3$更快（或至少一样快），在求极限时这些高阶项对结果没有影响，可以直接忽略。

修正泰勒展开并计算正确极限 #

我们用二项式展开公式$(1+u)^\alpha=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2+O(u3)$来重新计算：

1. 计算$\sqrt{2x+1}=(1+2x)^\frac{1}{2}$：
   $$(1+2x)^{\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}\cdot2x+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}\cdot(2x)}2+O(x^{3)\=1+x+\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2}\cdot4x}2+O(x^{3)\=1+x-\frac{1}{2}x}2+O(x^3)$$
   你之前的$x^2$项系数算成了$-1$，正确的应该是$-\frac{1}{2}$。

2. 计算$\sqrt[4]{4x+1}=(1+4x)^\frac{1}{4}$：
   $$(1+4x)^{\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}\cdot4x+\frac{\frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1)}{2!}\cdot(4x)}2+O(x^{3)\=1+x+\frac{\frac{1}{4}(-\frac{3}{4})}{2}\cdot16x}2+O(x^{3)\=1+x-\frac{3}{2}x}2+O(x^3)$$
   你这里的$x^2$项系数算成了$-3$，正确的应该是$-\frac{3}{2}$。

现在把正确的展开式代入极限：
$$\lim_{x\to0}\dfrac{\left(1+x-\frac{1}{2}x^2+O(x3)\right)-\left(1+x-\frac{3}{2}x^2+O(x3)\right)}{x^{2}\=\lim_{x\to0}\dfrac{(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2})x}2+O(x^3)}{x2}\=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+O(x3)}{x^{2}\=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{O(x}3)}{x^2}\right)=1$$
这样就得到了正确的极限结果1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SAQ