Banach空间上连续线性映射与伴随算子预解集相等性的证明疑问

嘿，我来帮你搞定这个证明里卡住的满射性问题——你其实已经完成了一半的推导，剩下的部分只要借助Banach空间理论里的闭值域定理就能轻松打通逻辑啦！

先回顾一下问题背景：

设$T:E\rightarrow E$是Banach空间之间的连续线性映射，伴随算子$T^*:E\rightarrow E^{*$定义为$T}(e^*)(e)=e(T(e))$。需要证明预解集$\rho(T)={\lambda \mid T-\lambda I \text{ 可逆}}$满足$\rho(T)=\rho(T^)$。

先确认你已经完成的部分：$\rho(T)\subseteq\rho(T^*)$ #

你这部分的推导完全没问题：

• 若$T-\lambda I$可逆，那么它首先是满射的，由此可以推出$T^-\lambda I^$是单射（如果$f_1\circ(T-\lambda I)=f_2\circ(T-\lambda I)$，满射性会直接迫使$f_1=f_2$）；
• 满射性的验证也很直接：取$g=f\circ(T-\lambda I)^{-1}\in E^{*$，就能直接得到$(T}-\lambda I^{*)(g)=f$，所以$T}-\lambda I^{*$是满射的。结合单射性，$T}-\lambda I^{*$可逆，即$\lambda\in\rho(T})$。

解决你卡住的部分：$\rho(T^*)\subseteq\rho(T)$的满射性证明 #

你已经成功证明了$T-\lambda I$是单射：

假设$\lambda\in\rho(T^*)$，即$T-\lambda I^$可逆。对任意$x\in\ker(T-\lambda I)$，所有$f\in E^{*$都满足$(T}-\lambda I^)(f)(x)=f((T-\lambda I)(x))=0$。由于$T^-\lambda I^$是满射的，这意味着所有$f\in E^*$都有$f(x)=0$，根据Hahn-Banach定理，$x=0$，因此$T-\lambda I$是单射。

接下来重点解决满射性，核心是利用闭值域定理——这个定理是Banach空间中联系算子值域闭性与伴随算子的关键工具，它告诉我们：

对于Banach空间之间的连续线性算子$S$，$S(E)$是闭集当且仅当$S^*(E)$是闭集；同时还有$\overline{S(E)} = \ker(S^*)\perp$（$\perp$表示零化子，即$E$中所有被$\ker(S^)$中每个泛函零化的元素集合）。

我们令$S=T-\lambda I$，对应的$S^*=T-\lambda I^$是可逆的，那么：

1. 因为$S^{*$可逆，所以$S}(E^*)=E$，显然是闭集。根据闭值域定理，$S(E)$必然是闭集——这就解决了你之前担心的“$S(E)$不一定闭”的问题！
2. 现在我们可以用你最初的思路（反证法+几何Hahn-Banach）：
   假设$S(E)\neq E$，由于$S(E)$是闭集，根据几何形式的Hahn-Banach定理，存在非零的$f\in E^$，使得$f(y)=0$对所有$y\in S(E)$。这意味着对所有$x\in E$，$f(S(x))=0$，也就是$(S^(f))(x)=0$对所有$x\in E$，即$S^{*(f)=0$。但$S}*$是可逆的，这就推出$f=0$，与$f$非零矛盾。因此$S(E)=E$，即$T-\lambda I$是满射的。

最后，$T-\lambda I$是双射且连续，根据Banach逆算子定理，它的逆算子也是连续的，因此$\lambda\in\rho(T)$。

这样就完成了$\rho(T^{*)\subseteq\rho(T)$的证明，结合之前的$\rho(T)\subseteq\rho(T})$，就得到了$\rho(T)=\rho(T^)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kadmos