群扩张导出的分类空间纤维化问题求助

各位好，我现在在做Rosenberg的《Algebraic K-Theory and its applications》里的习题5.1.28，关于群扩张对应的分类空间纤维化，遇到了点卡壳的地方，想请大家帮忙看看。

给定群扩张：
$$1 \longrightarrow N \longrightarrow G \longrightarrow \frac{G}{N} \longrightarrow 1$$
需要证明存在对应的分类空间纤维化：
$$BG \longrightarrow B\left(\frac{G}{N}\right)$$
且纤维是$BN$。

我已经知道覆叠映射满足纤维化的同伦提升性质，而且已经证明了$EG \longrightarrow BG \longrightarrow B\left(\frac{G}{N}\right)$是一个覆叠映射，进而推出$BG \to B(G/N)$是一个纤维化。但现在我搞不懂怎么证明这个纤维化的纤维（同伦等价于）$BN$——直觉上这很合理，但真要写严谨的证明就不知道从哪下手了。我在纤维化和分类空间这块经验不多，真心求各位大佬给点思路或者步骤提示！

给你几个可以拆解问题的思路，我当初学这块的时候也卡过类似的点 #

1. 从纤维的定义：抓基点的原像

纤维化的纤维本质上是目标空间某个基点的原像，咱们先锚定$B(G/N)$的基点——它对应$G/N$的平凡群元。那这个基点在$BG \to B(G/N)$下的原像，其实就是$G$中那些映射到$G/N$单位元的元素对应的分类空间部分，也就是$N$的“分类空间碎片”。

具体点说，用分类空间的标准构造来对应：$BG$是$EG/G$，$EG$是$G$的通用自由复形（比如取所有有限长度的$G$元素序列构成的拓扑空间，带紧致开拓扑那种），$G$在$EG$上左作用。$B(G/N)$则是$E(G/N)/(G/N)$，咱们的映射$BG \to B(G/N)$是由商同态$G \to G/N$诱导的。

取$B(G/N)$的基点$[x_0]$（$x_0$是$E(G/N)$的基点，对应空序列），它在$BG$中的原像就是所有$[y] \in BG$，使得商同态把$y$对应的$G$作用轨道映射到$G/N$的单位元轨道。这时候你会发现，这些$y$其实都落在$EG$中被$N$作用的部分里——因为只有$N$中的元素会被商同态映射到$G/N$的单位元。而$EG$是可缩的，$N$在$EG$上的作用是自由的，所以$EG/N$和$BN$是同伦等价的，而$EG/N$恰好就是这个原像（也就是纤维化的纤维）。

2. 用纤维化的长正合同伦序列反向验证

如果暂时想不到直接构造同伦等价的方法，不妨用长正合同伦序列来“佐证”，同时也能帮你理顺逻辑：
纤维化的长正合同伦序列是：
$$\dots \to \pi_n(\text{纤维}) \to \pi_n(BG) \to \pi_n(B(G/N)) \to \pi_{n-1}(\text{纤维}) \to \dots$$

咱们知道离散群的分类空间$BH$是Eilenberg-MacLane空间$K(H,1)$，所以$\pi_1(BH)=H$，$\pi_k(BH)=0$对$k \neq 1$。把这个代入序列：

• 当$n=1$时：$\pi_1(\text{纤维}) \to G \to G/N \to \pi_0(\text{纤维})$，这个序列要正合的话，$\pi_1(\text{纤维})$必须是$N$，$\pi_0(\text{纤维})$是平凡群——这正好对应$BN$的同伦群性质。
• 当$n \geq 2$时：所有项都是0，序列自然正合。

这就从同伦群的角度说明，纤维的同伦型只能是$BN$，因为Eilenberg-MacLane空间是由同伦群唯一确定的（同伦等价意义下）。

3. 用单纯复形的构造直接可视化

如果喜欢几何一点的直观，咱们用单纯复形构造分类空间：$BH$是$H$的标准单纯复形的几何实现，每个$k$-单纯形对应$H$中$k+1$个元素的序列$(h_0,h_1,...,h_k)$，等价关系是$(h_0g,h_1g,...,h_kg) \sim (h_0,...,h_k)$对任意$g \in H$。

那$BG$的单纯形对应$G$的序列，$B(G/N)$的单纯形对应$G/N$的陪集序列，映射$BG \to B(G/N)$就是把每个$G$元素替换成它所在的陪集。这时候取$B(G/N)$的基点（对应空序列），它的原像就是$BG$中所有元素都属于$N$的单纯形——这不就是$BN$的单纯复形吗？直接从构造上就对应上了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者The_Rookie