非方阵中使$\| A \hat{x}\|$对所有单位向量$\hat{x}$恒为常数的条件探究

大家好，今天咱们来聊一个线性代数里的有趣问题——对于非方阵的$n \times m$实矩阵，什么时候$| A \hat{x}|$对所有单位向量$\hat{x}$都保持恒定呢？

先回顾下方阵的情况，这个结论咱们应该都熟悉：当且仅当$A = \lambda I Q$，其中$\lambda$是标量，$Q$是正交矩阵。那换成非方阵的话，这个条件又会变成什么样呢？

这个问题其实是我在做Arnold《经典力学的数学方法》里的一道题时偶然想到的，当时发现了一个特别有意思的现象：

假设$A$是一个$2^n \times n$的实矩阵，它的每一行都是$\begin{bmatrix}\pm 1 & \pm 1 & \pm 1 & ... \end{bmatrix}$的所有$2^n$种组合，那么对于所有单位向量$\hat{x}$，都有$|A \hat{x} | = 2^n$。

咱们来简单推导一下这个结论：用$\sum_\pm$表示对所有$\pm$的组合求和，那么：
$$\begin{align*}
|A \hat x |&= \sum_{0 < i < 2^n} (a_i \cdot x)^2 \
&= \sum_{\pm} (\pm x_1 \pm x_2 \pm ... \pm x_n)^2 \
&= \sum_{0 < i \leq n} 2^nx_i2 + \sum_{0 < i < j \leq n}2^n x_i x_j - \sum_{0 < i < j \leq n} 2^nx_i x_j \
&= 2^n |\hat x| \
&= 2^n.
\end{align*}$$

这个结果真的很耐人寻味，我不禁好奇：这个结论能不能推广到更一般的非方阵上？它是不是某个已知线性代数结论的特例呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames