关于正定矩阵不同定义的两个技术疑问

嘿，咱们来逐个拆解你遇到的这两个关于正定矩阵定义的疑问，这些都是初学线性代数时很容易混淆的点：

第一个问题：定义(ii)能否推出定义(i)？有限维下是否成立？ #

直接给结论：在有限维空间（也就是你提到的$\mathbb{R}^n$）里，定义(ii)完全可以推出定义(i)；但如果是无限维的赋范线性空间，这个推论就不成立了。

具体解释一下有限维的情况：

• 先看二次型$f(x) = x^T A x$，它是$\mathbb{R}^n$上的连续函数——毕竟矩阵乘法和向量内积都是连续运算。
• 我们聚焦单位球面$S = {x \in \mathbb{R}^n \mid x^T x = 1}$，在有限维空间里，这个单位球面是紧集（有界且闭）。根据连续函数的紧集性质，$f(x)$在$S$上必然能取到最小值$\alpha$。
• 由定义(ii)，所有$x \in S$（也就是非零且归一化的向量）都满足$f(x) > 0$，所以这个最小值$\alpha$肯定是正数。
• 对任意非零向量$x \in \mathbb{R}^n$，我们把它归一化：令$y = \frac{x}{|x|}$，那么$y \in S$，代入计算得：
  $$x^T A x = |x|^2 \cdot y^T A y \geq |x|^2 \cdot \alpha = \alpha x^T x$$
  当$x=0$时，两边都是0，显然成立。这样就满足了定义(i)的条件。

而无限维空间里，比如某些线性算子，二次型可以无限趋近于0但始终不低于某个正数是做不到的，这时候就找不到这样的$\alpha$，所以推论失效。

第二个问题：非对称矩阵能满足这些定义吗？对称性能否从定义推导出来？ #

结论是：非对称矩阵完全可以满足定义(i)或(ii)，而且从这两个定义里推导不出矩阵必须对称的结论。至于不同定义里是否要求对称，只是语境和约定的区别，不算真正的冲突。

咱们来理清楚背后的逻辑：

• 任何方阵$A$都可以拆成对称部分和反对称部分：$A = S + K$，其中$S = \frac{A + A^T}{2}$（对称矩阵），$K = \frac{A - A^T}{2}$（反对称矩阵）。
• 计算反对称部分的二次型：$x^T K x = (x^T K x)^T = x^T K^T x = -x^T K x$，这意味着$x^T K x = 0$对所有$x$都成立。所以本质上，$x^T A x = x^T S x$——二次型的性质完全由$A$的对称部分决定。
• 举个实际例子，比如矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1\end{pmatrix}$，它的对称部分是$S = \begin{pmatrix}1 & 0.5 \ 0.5 & 1\end{pmatrix}$，这个对称矩阵是正定的（满足定义(ii)），所以$x^T A x = x^T S x = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + 0.5x_2)^2 + 0.75x_2^2 > 0$对所有非零$x$成立，但$A$本身是非对称的，显然满足定义(ii)，在有限维下也满足定义(i)。

那为什么有些定义要求正定矩阵必须对称？这是因为在很多应用场景里（比如优化问题、正定核、二次型分析），我们只关心二次型的正性，而二次型只和对称部分有关，所以干脆把“对称”作为正定矩阵的定义前提，这时候说的“正定矩阵”其实是对称正定矩阵。而不要求对称的定义，是把满足二次型正性的所有方阵都归为正定矩阵，只要明确语境，就不会产生混淆。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者clay