李群上共轭作用映射φ(g,u)=gug⁻¹的切映射计算及严谨证明请求

各位大佬好，我最近在研究李群上的共轭作用相关的切映射问题，目前有了一个猜测的结果，但没办法给出严谨的推导过程，想请大家帮忙梳理一下证明逻辑。

问题背景 #

设$G$是一个实李群，单位元为$e$；取$x_0\in G$，$U\subset G$是包含$x_0$的子流形。定义共轭作用映射：
$$\varphi:G\times U\rightarrow G,\quad \varphi(g,u):=gug^{-1}.$$

我们将$G$的李代数$\mathfrak{g}$等同于$G$上的左不变向量场集合，自然也和单位元处的切空间$T_eG$同构。对任意$g\in G$，记左平移映射$l_g:G\rightarrow G$，定义为$l_g(x)=gx$；通过微分同构$dl_x|e:T_eG\rightarrow T_xG$，我们可以把$\mathfrak{g}$和任意$x\in G$处的切空间$T_xG$等同起来。对于$x_0\in U$，我们将$T{x_0}U$视为$T_{x_0}G$的子空间，进而等同于李代数$\mathfrak{g}$的一个子空间$\mathfrak{u}$。

我的问题 #

我想要计算$\varphi$在点$(g_0,x_0)$处的切映射：
$$d\varphi|_{(g_0,x_0)}:\mathfrak{g}\times \mathfrak{u}\rightarrow \mathfrak{g}.$$

我自己通过直觉猜测正确的结果应该是：
$$d\varphi|_{(g_0,x_0)}: (X,Y)\mapsto {\rm Ad}(g_0)\left[ ({\rm Ad}(x_0)^{-1}-1)X+Y\right],$$
这里的${\rm Ad}$是李群对其李代数的伴随作用。我感觉这个$({\rm Ad}(x_0)^{-1}-1)$项是用来对应映射里的平移相关效应，但我没办法把这个推导过程严谨地写出来。

有没有大佬能帮我把这个证明给严谨地推导一遍呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者youknowwho