含参连续可微函数的偏导数对参数的连续性问题

咱们来探讨这个关于含参函数的偏导数连续性问题：

首先明确已知条件：

• 函数 $g$ 在区域 $[a,b]\times \mathbb{R}^n$ 上连续，其中 $[a,b]$ 是实数集上的闭区间
• 对每一个固定的 $t\in [a,b]$，关于 $x$ 的映射 $x\mapsto g(t,x)$ 是连续可微的

那我们的疑问是：关于 $t$ 的映射 $t\mapsto \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)$，在区间 $[a,b]$ 上是不是一定连续呢？

分析思路 #

我们可以取一个收敛到 $t\in [a,b]$ 的子序列 $(t_n)$，根据偏导数的定义，对每个分量 $x_i$，有：
$$\frac{\partial g}{\partial x_i}(t_n,x) = \lim_{h\to 0}\frac{g(t_n,x+h e_i)-g(t_n,x)}{h}$$
这里 $e_i$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的第 $i$ 个标准单位向量。

所以问题就转化为：我们能不能交换这两个极限的顺序？也就是是否成立：
$$\lim_{h\to 0} \lim_{n\to\infty} \frac{g(t_n,x+he_i)-g(t_n,x)}{h}= \lim_{n\to\infty}\lim_{h\to 0} \frac{g(t_n,x+he_i)-g(t_n,x)}{h}$$

如果当 $h\to 0$ 时，$g(t,x+he_i)\to g(t,x)$ 是一致收敛的，那确实可以交换这两个极限的顺序。但要注意，哪怕 $x\mapsto g(t,x)$ 是连续的，这个收敛也不一定是一致的（比如Dini定理只适用于单调函数的情况，这里并不满足单调的前提）。

结论与例子 #

所以结论是：存在这样的函数 $g$，使得 $t\mapsto \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)$ 在 $[a,b]$ 上不连续。

比如这个具体的例子：定义在 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 上的函数
$$g(t,x) = tx^3\sin\left(\frac{1}{tx}\right)$$
（注：当 $tx=0$ 时，我们可以补充定义 $g(t,x)=0$，这样就能保证函数在整个 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 上连续）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者prolea