连续可微映射是否关于参数x满足一致Lipschitz条件的疑问及反例探讨
我最近在研究这样一个问题：假设$g$是定义在$[a,b]\times \mathbb{R}^n$上的连续函数，其中$[a,b]\subset \mathbb{R}$，并且对于每个固定的$t\in [a,b]$，映射$x\mapsto g(t,x)$是连续可微的。我想知道，这样的$g$是否关于$x$满足Lipschitz条件——也就是说，对任意紧集$K\subset [a,b]\times \mathbb{R}^n$，是否存在常数$L_K\ge 0$，使得对所有$(t,x),(t,y)\in K$，都有：
$$
|g(t,x) - g(t,y)|\le L_K|x-y|
$$
我先尝试用微积分基本公式来推导，写出了：
$$
g(t,x) - g(t,y) = (x-y)\cdot \int_0^1 \frac{\partial g}{\partial x}(t,y+s(x-y))d s
$$
接着用柯西-施瓦茨不等式，得到：
$$
|g(t,x) - g(t,y)|\le |x-y| \left|\int_0^1 \frac{\partial g}{\partial x}(t,y+s(x-y))d s\right|
$$
因为$x\mapsto \partial_x g$是连续的，所以我能得到存在依赖于$t$的常数$C(t)$，使得：
$$
|g(t,x) - g(t,y)|\le C(t)|x-y|
$$
但这里我犯了难——看起来没有任何条件能保证，当$(t,x),(t,y)\in K$时，$C(t)$是有界的。我是不是漏掉了什么关键的点？
编辑：我现在转而寻找反例来验证我的疑问。
我想到了这样一个函数：$g(t,x) = tx^3\sin\left(\frac{1}{tx}\right)$（这里默认$tx\neq0$，可以补充定义$g(t,0)=0$以保证连续性）
针对这个函数，当$0<y<x$时，我做了如下估计：
$$
C(t)\ge\frac{tx^3\sin(1/(tx)) - ty^3\sin(1/(ty))}{x-y}
\ge \frac{x2-y2-1/(6t^2)}{x-y} = x+y-\frac{1}{6t^2(x-y)}
$$
很明显这里的$C(t)$是无界的，但这个估计好像还不能直接完全证明我的问题不成立？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者prolea
