在开集上定义常值函数引发的连续性定义矛盾疑问

嘿，这个问题其实是拓扑里很容易踩的小坑——你混淆了不同拓扑空间里的“闭集”概念！

先理清楚核心逻辑：

• 我们说“连续函数的原像将闭集映射为闭集”，这里的闭集是相对于定义域所在的拓扑空间而言的，不是相对于更大的外围空间（比如你这里的实数集$\mathbb{R}$）。
• 你的定义域是$I$（应该是$\mathbb{R}$中的开区间，比如$(0,1)$这类），当我们把$I$看作独立的拓扑空间时，它的拓扑是$\mathbb{R}$的子空间拓扑：$I$中的闭集是$\mathbb{R}$中的闭集与$I$的交集。而在这个子空间拓扑里，$I$本身既是开集也是闭集（这类集合叫“既开又闭集”，clopen set）。

回到你的例子：

• 常值函数$f:I\to\mathbb{R}$（你写的映射到${c}$本质是一样的），codomain里的闭集${c}$，它的原像是整个定义域$I$。在$I$自己的拓扑里，$I$是闭集（子空间拓扑中，整个空间本身必然是闭集，同时也是开集），这完全符合连续函数的定义。

你之前的误区是把$I$在$\mathbb{R}$中的“开集”属性，当成了它在自身拓扑里的属性，但判断原像是否为闭集，只看它在定义域拓扑里的性质，和外围空间无关。所以根本不存在矛盾，只是没搞清楚拓扑空间的相对性而已~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wheeler