周期伴随函子的存在性问题

先抛出核心问题：

给定任意正整数$n$，是否存在函子（当$n$为奇数时要求是自函子）$F_1, F_2, ..., F_n$，满足伴随链$F_1 \dashv F_2 \dashv ... \dashv F_n \dashv F_1$，但所有同奇偶性的$F_i$之间（如果涉及的是自函子则无此限制）都不存在自然同构？

下面分不同的$n$值来讨论已知的情况：

n=1的情况 #

• 最基础的例子就是任意范畴上的恒等函子，它天然是自身的左伴随和右伴随。
• 要是想找非平凡的自伴随自函子，也很容易：比如在阿贝尔群范畴（或者任意加性范畴）里，定义函子$F(A) = A \oplus A$，这个函子就是自伴随的。

n=2的情况 #

这时候我们要找的是双向伴随对——也就是一对函子互相伴随，但彼此不同构。

• 经典实例还是在阿贝尔群范畴（或加性范畴）里：直和函子$(A,B) \mapsto A \oplus B$，它同时是对角函子$\Delta(A)=(A,A)$的左伴随和右伴随，而且这两个函子显然不是自然同构的，完美符合要求。

n=3的情况 #

目前我还没有找到合适的例子：也就是找不到任何范畴$C$，能存在三个两两互不同构的自函子$F_1,F_2,F_3: C \to C$，满足$F_1 \dashv F_2 \dashv F_3 \dashv F_1$这个伴随循环。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Geoffrey Trang