多枚骰子投掷的期望求和问题（相同点数成对抵消规则）

嘿，这个问题我太懂了！先把规则再明确下：掷若干个公平骰子，相同点数成对抵消——比如掷出(1,1,2)就剩一个2，得分是2；掷出(1,1,1)就剩一个1，得分是1；要是成对完没剩下，得分就是0。我们要算的是最终得分的期望值对吧？

先从简单的情况入手：2个骰子 #

你已经知道可以枚举36种情况计算，但其实用线性期望能更快：

• 总共有6种点数相同的情况（得分0），剩下30种点数不同的情况，得分是两点之和。
• 不过更高效的方式是拆分每个点数的贡献：对于任意点数k，只有当它出现奇数次时（这里就是1次）才会贡献k，出现偶数次（2次）贡献0。
• 单个点数k出现1次的概率是 2*(1/6)*(5/6)（比如(1,2)和(2,1)），所以每个k的期望贡献是 k * 2*(1/6)*(5/6)。
• 6个点数加起来，总期望就是 (1+2+3+4+5+6)*2*(1/6)*(5/6) = 21*(10/36) = 35/6 ≈5.833，和枚举结果一致。

重点：3个骰子的简化计算 #

你之前尝试用总sum减重复部分，其实线性期望才是快速解题的关键——不管变量是否独立，期望的线性性都成立，这简直是这类问题的神器！

步骤如下：

1. 拆分每个点数的贡献：对于点数k，只有当它出现奇数次时（1次或3次），才会贡献k；出现偶数次（0次或2次）贡献0。
2. 计算单个点数k出现奇数次的概率：
   • 3个骰子中，出现1个k的概率是 C(3,1)*(1/6)*(5/6)^2，出现3个k的概率是 C(3,3)*(1/6)^3。
   • 加起来就是 (3*25 +1)/216 =76/216=19/54。
3. 所有点数的贡献期望是对称的，所以总期望就是 (1+2+3+4+5+6)*19/54 =21*19/54=133/18≈7.388。

不用枚举216种情况，几分钟就能算出来！

推广到n个骰子（比如100个） #

同样用线性期望，我们可以推导出通用公式：

1. 对于单个点数k，n个骰子中出现奇数次的概率有个简洁公式：[1 - (2/3)^n]/2。
   • 推导小技巧：用生成函数，单个骰子的生成函数是(5/6)+(1/6)x，n个的就是[(5/6)+(1/6)x]^n，奇数项系数和就是(f(1)-f(-1))/2，代入后就能得到这个结果。
2. 总期望就是所有点数贡献之和：(1+2+3+4+5+6)*[1 - (2/3)^n]/2 =21*[1 - (2/3)^n]/2。

比如n=100时，(2/3)^100是极小的数（几乎趋近于0），所以总期望≈21/2=10.5，非常好算！

为什么这个方法更高效？ #

不管n是3还是100，我们都不用枚举海量的情况，只需要利用对称性和期望的线性性，几步就能得到结果，完全适合快速回答的场景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Van Tom