抽取到红球时该球来自A urn的概率求解与过程验证

咱们先把问题明确下来：
有三个 urn（A、B、C），每个 urn 里都装了 100 个球，总计 300 个球。其中：

• A urn 里有 45 个红球，剩下 55 个是黄球
• B urn 里有 50 个红球，剩下 50 个是黄球
• C urn 里有 55 个红球，剩下 45 个是黄球

现在我们从某个 urn 中抽到了一个红球，想知道这个红球来自 A urn 的概率是多少？

这是个典型的条件概率问题，用贝叶斯定理就能完美解决。先给事件做个定义：

• 设 (U=A) 代表「抽到的球来自 A urn」这个事件
• 设 (b=r) 代表「抽到的是红球」这个事件

我们要求的就是 (P(U=A|b=r)) —— 也就是在抽到红球的前提下，球来自 A urn 的概率。

根据贝叶斯定理，这个条件概率可以拆解为下面的公式：
$$P(U=A|b=r)=\frac{P(b=r|U=A)P(U=A)}{P(b=r)}$$

接下来咱们逐个计算公式里的每个部分：

• (P(b=r|U=A))：从 A urn 中抽到红球的概率。A urn 里有 45 个红球，总共有 100 个球，所以这个概率是 (\frac{45}{100})
• (P(U=A))：随机选中 A urn 的概率。因为三个 urn 是等概率被选择的，所以这个值是 (\frac{1}{3})
• (P(b=r))：抽到红球的总概率。咱们可以直接算总红球数除以总球数：总红球数是 (45+50+55=150)，总球数是 300，所以 (P(b=r)=\frac{150}{300}=\frac{1}{2})

把这些值代入贝叶斯公式进行计算：
$$P(U=A|b=r)=\frac{\frac{45}{100} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{45}{300}}{\frac{1}{2}}=\frac{45}{300} \times 2=\frac{90}{300}=\frac{3}{10}$$

最终结果是 (\frac{3}{10})（也就是 30%），这就是抽到红球时该球来自 A urn 的概率。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Xerium