关于二元随机变量线性变换后联合概率密度函数的疑问

嘿，这个问题问得很关键！先直接给你结论：绝对不能说$f_Y(y_1,y_2)=f_X(x_1,x_2)$，这里得考虑线性变换带来的“缩放”效应，具体来说要用到雅克比行列式（Jacobian determinant），咱们一步步理清楚：

首先，你已经正确推导出了Y的联合分布函数，我把这段推导贴出来方便咱们对照：

\begin{align}
F_Y(y_1,y_2)&=P(Y_1\leq y_1,Y_2\leq y_2)\
&=P(a_1X_1+b_1\leq y_1,a_2X_2+b_2\leq y_2)\
&=P(X_1\leq (y_1-b_1)/a_1,X_2\leq (y_2-b_2)/a_2)\
&=F_X\left(\frac{y_1-b_1}{a_1},\frac{y_2-b_2}{a_2}\right)\
\end{align}

接下来要从分布函数得到联合概率密度，就得对$y_1$和$y_2$求二阶混合偏导。这里要用到多元函数求导的链式法则，咱们设$u_1=\frac{y_1-b_1}{a_1}$，$u_2=\frac{y_2-b_2}{a_2}$，那么$F_Y(y_1,y_2)=F_X(u_1,u_2)$。

先对$y_1$求偏导：
$\frac{\partial F_Y}{\partial y_1} = \frac{\partial F_X}{\partial u_1} \cdot \frac{\partial u_1}{\partial y_1} = \frac{\partial F_X}{\partial u_1} \cdot \frac{1}{a_1}$

再对$y_2$求偏导得到联合密度：
$\frac{\partial^2 F_Y}{\partial y_1 \partial y_2} = \frac{1}{a_1} \cdot \frac{\partial}{\partial y_2}\left( \frac{\partial F_X}{\partial u_1} \right)$

里面的偏导继续用链式法则：
$\frac{\partial}{\partial y_2}\left( \frac{\partial F_X}{\partial u_1} \right) = \frac{\partial^2 F_X}{\partial u_1 \partial u_2} \cdot \frac{\partial u_2}{\partial y_2} = f_X(u_1,u_2) \cdot \frac{1}{a_2}$

把这些合起来，就能得到Y的联合密度：
$$f_Y(y_1,y_2) = \frac{1}{a_1a_2} f_X\left( \frac{y_1-b_1}{a_1}, \frac{y_2-b_2}{a_2} \right)$$

这里的$\frac{1}{a_1a_2}$其实就是这个线性变换的雅克比行列式绝对值的倒数。咱们可以简单算一下：从X到Y的逆变换是$X_1=\frac{Y_1-b_1}{a_1}$，$X_2=\frac{Y_2-b_2}{a_2}$，对应的雅克比矩阵是：
$$J = \begin{pmatrix}
\frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} \
\frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1/a_1 & 0 \
0 & 1/a_2
\end{pmatrix}$$

它的行列式是$\det(J)=\frac{1}{a_1a_2}$，绝对值就是$\frac{1}{a_1a_2}$——这就是为啥要乘这个因子，因为线性变换把X的“概率空间”缩放了，密度也要跟着调整。

举个直观的例子吧：假设X是二维标准正态分布，它的密度是$f_X(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi}e^{-(x_12+x_2^2)/2}$。如果$Y_1=2X_1+1$，$Y_2=3X_2+2$，那Y的密度就是：
$$f_Y(y_1,y_2)=\frac{1}{2*3} \cdot \frac{1}{2\pi}e^{-\left( \left( \frac{y_1-1}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2-2}{3} \right)^2 \right)/2}$$
显然这个结果和$f_X(x_1,x_2)$完全不一样，这也验证了咱们的结论。

总结一下：不能直接认为Y的联合密度等于X的联合密度，必须把X的密度里的变量替换成用Y表示的形式，再乘以线性变换对应的雅克比行列式绝对值的倒数，才是Y的正确联合密度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Unknown