如何证明当b≥0时1+be^b ≤ e^b

嘿，先跟你提个关键点——其实当b≥0时，你要证明的这个不等式1+be^b ≤ e^b是不成立的哦！比如代入b=1试试：左边是1+e≈3.718，右边是e≈2.718，明显左边更大。不过我们可以顺着你的思路来理清楚函数的变化逻辑，说不定是你不小心把不等式写反了呢？

• 首先你构造的函数应该是$f(b) = 1 + b e^b - e^b$（这里你写成了f(x)，换成f(b)会更贴合变量）
• 求导的话，正确的导数计算是：$f'(b) = e^b + b e^b - e^b = b e^b$，和你想的一样
• 因为b≥0，而$e^b$永远是正数，所以$f'(b) = b e^b ≥ 0$，这说明f(b)在b≥0的区间上是单调递增的
• 当b=0时，$f(0) = 1 + 0 - 1 = 0$，结合单调性可知，对于所有b≥0，$f(b) ≥ f(0) = 0$
• 把f(b)代回去变形，就能得到$1 + b e^b - e^b ≥ 0$，也就是$1 + b e^b ≥ e^b$

如果是你想证明的是常见的不等式$1 + b ≤ e^{b$（b≥0），那可以构造$f(b)=e}b - b -1$，求导得$f'(b)=e^b -1$，当b≥0时$f'(b)≥0$，且f(0)=0，所以f(b)≥0，就能证得$e^b ≥ b +1$啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maya