重复抛硬币建模：TTH模式首次出现平均抛掷次数的理论模型验证求助

各位好，我最近在研究抛硬币首次出现特定模式的期望抛掷次数问题，遇到了理论模型和模拟结果不符的情况，想请大家帮忙排查一下问题所在。

具体问题是这样的：我们有一枚硬币，抛出正面（H）的概率为p，抛出反面（T）的概率为1-p。我想计算首次出现连续模式T,T,H时，平均需要抛掷的次数，这个次数记为随机变量Z，我需要求它的期望E[Z]。

我尝试通过第一次出现反面（记为随机变量Y，也就是首次抛到T时的抛掷次数）之后的路径来做条件概率建模，写出了如下的期望表达式：

$$E[Z] = EZ|Y,t,hp + E[Z|Y,h,t]p + EZ|Y,t,t^2$$

其中各个条件期望我是这么定义的：

• $E[Z|Y,t,h] = Y + 2$
• $E[Z|Y,h,t] = Y + 1 + E[Z]$
• $E[Z|Y,h,h] = Y + 1 + E[Z]$
• $E[Z|Y,t,t] = Y + 2 + E[Z]$

但按照这个式子解出来的E[Z]结果，和我用模拟方法得到的数值对不上。我实在搞不清楚自己的模型哪里出了问题，希望能得到大家的帮助，帮我理清错误所在，更好地理解这类问题的建模思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Will_E