三次不可约有理多项式的判别式平方根域扩张次数及分裂域相关问题

咱们先理清楚问题的背景：给定一个三次不可约有理多项式 (f(x) = x^3 + px + q \in \mathbb{Q}[x])，它在分裂域 (K) 中可以分解为 (f(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3))，其中 (r_1, r_2, r_3) 是它的根。定义判别式 (D = (r_3 - r_1)^2(r_2 - r_1)^2(r_3 - r_2)^2)，显然 (\sqrt{D}) 属于分裂域 (K)，因为 (\sqrt{D} = \pm(r_3 - r_1)(r_2 - r_1)(r_3 - r_2))。

你现在的核心疑问是：

1. 求 ( [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] )，也就是添加 (r_1) 和 (\sqrt{D}) 到 (\mathbb{Q}) 得到的扩域次数；
2. (\sqrt{D}) 在 (\mathbb{Q}) 和 (\mathbb{Q}(r_1)) 上的次数分别是多少，有哪些可能情况，取决于什么条件；
3. 分裂域次数和判别式之间的关系（毕竟已知 (\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D})) 就是 (f(x)) 的分裂域）。

我来一步步给你梳理清楚：

一、先明确基础的域扩张次数 #

因为 (f(x)) 在 (\mathbb{Q}) 上不可约，根据域扩张的基本结论，单扩域 (\mathbb{Q}(r_1)) 在 (\mathbb{Q}) 上的次数就是多项式的次数，也就是 ( [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}] = 3 )。

二、(\sqrt{D}) 在 (\mathbb{Q}) 上的次数 #

首先，三次多项式的判别式可以用系数直接计算：对于 (f(x)=x^3+px+q)，判别式 (D = -4p^3 - 27q^2)，显然 (D \in \mathbb{Q})。
那么 (\sqrt{D}) 在 (\mathbb{Q}) 上的极小多项式分两种情况：

• 如果 (D) 是 (\mathbb{Q}) 中的平方数（即存在 (a \in \mathbb{Q})，使得 (D = a^2)），那么 (\sqrt{D} = \pm a \in \mathbb{Q})，此时极小多项式是 (x - \sqrt{D})，次数为1，即 ( [\mathbb{Q}(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] = 1 )；
• 如果 (D) 不是 (\mathbb{Q}) 中的平方数，那么 (\sqrt{D} \notin \mathbb{Q})，此时极小多项式是 (x^2 - D)，次数为2，即 ( [\mathbb{Q}(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] = 2 )。

三、(\sqrt{D}) 在 (\mathbb{Q}(r_1)) 上的次数，以及 ( [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] ) #

根据域扩张的塔式法则，我们有：
[ [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}(r_1)] \times [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}] ]
已知 ( [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}] = 3 )，所以只需要确定 ( [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}(r_1)] ) 是1还是2：

情况1：(D) 是 (\mathbb{Q}) 中的平方数

此时 (\sqrt{D} \in \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(r_1))，所以 (\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}) = \mathbb{Q}(r_1))，那么 ( [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}(r_1)] = 1 )，进而：
[ [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] = 3 \times 1 = 3 ]
这时候分裂域 (K = \mathbb{Q}(r_1))，说明 (f(x)) 在 (\mathbb{Q}(r_1)) 中就能完全分解，对应的伽罗瓦群是3阶循环群 (C_3)（这类多项式也叫循环三次多项式）。

情况2：(D) 不是 (\mathbb{Q}) 中的平方数

假设 (\sqrt{D} \in \mathbb{Q}(r_1))，那么 (\mathbb{Q}(\sqrt{D}) \subseteq \mathbb{Q}(r_1))，根据塔式法则，( [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}(\sqrt{D})] \times [\mathbb{Q}(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] )，也就是 (3 = [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}(\sqrt{D})] \times 2)，但2不能整除3，这显然矛盾！所以 (\sqrt{D} \notin \mathbb{Q}(r_1))，此时 ( [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}(r_1)] = 2 )，进而：
[ [\mathbb{Q}(r_1)(\sqrt{D}):\mathbb{Q}] = 3 \times 2 = 6 ]
这时候分裂域 (K) 的次数是6，对应的伽罗瓦群是3元对称群 (S_3)。

四、分裂域次数和判别式的关系总结 #

对于三次不可约有理多项式 (f(x))：

• 若判别式 (D) 是 (\mathbb{Q}) 中的平方数，则分裂域在 (\mathbb{Q}) 上的次数为3，伽罗瓦群是 (C_3)；
• 若判别式 (D) 不是 (\mathbb{Q}) 中的平方数，则分裂域在 (\mathbb{Q}) 上的次数为6，伽罗瓦群是 (S_3)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Iris