关于光滑函数f与复合函数f∘A的高阶导数估计的证明求助

各位大佬好，我最近在研究光滑函数复合后的高阶导数估计问题，遇到了瓶颈，想请教大家的思路：

假设$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$是光滑函数，$A \in GL_n(\mathbb{R})$，且存在常数$\Lambda\geq \lambda>0$，使得对所有$x\in \mathbb{R}^n$都满足：
$$\lambda |x|\leq |Ax|\leq \Lambda |x|$$
令$g=f\circ A$，我想要证明：对每个正整数$k\in\mathbb{N}^+$，存在一个仅依赖于$n,k,\Lambda,\lambda$的常数$C$，使得
$$\sup_{|\beta|=k}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|D\beta g(x)|\leq C \sup_{|\beta|=k}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|D\beta f(x)| $$
其中$\beta$是长度为$k$的多重指标。

我已经解决了$k=1$的情况，用链式法则就能轻松推导出来：
$$Dg(x)=Df(Ax)\cdot A\tag{1}$$
这里$Dg=(D_1g,...,D_ng)$表示梯度，具体推导过程如下：
\begin{align}
\mathrm{LHS}\leq&~\sup_{x\in \mathbb{R}^n}|Df(Ax)\cdot A|
\leq\Lambda \sup_{x\in \mathbb{R}^n}|Df(Ax)|
\=&~\Lambda \sup_{x\in \mathbb{R}^n}|Df(x)|\leq \Lambda \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\sup_{1\leq i\leq n}\sqrt{n}|D_if(x)|= \sqrt{n}\lambda\mathrm{RHS}
\end{align}

但是当$k\geq 2$的时候，就没有像式(1)那样简洁的链式法则形式了，我尝试了好几次都没找到合适的推导方向，现在完全卡住了，有没有大佬能给我指点一下，或者提供一个完整的证明思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tiffany