亚高斯各同向性行矩阵的算子范数期望推导问题求助

开发者阿泽

2026-4-20

本题出自Roman Vershynin所著《High-Dimensional Probability》中的习题4.6.2

问题陈述

设$A$是$m \times n$矩阵，其行向量$A_i$是$\mathbb{R}^n$中独立、零均值、亚高斯各向同性的随机向量。记$K$为行向量的最大亚高斯范数，$C$为绝对常数，且$m \gg n$。已知对任意$t \geq 0$，有以下集中不等式：
$$
\mathbb{P}\left[ \left| \frac{1}{m} A^T A - I_n \right| > K^2 \max(\delta, \delta^2) \right] < 2 e^{-t2}
$$
其中$\delta = C\left( \sqrt{\frac{n}{m}} - \frac{t}{m} \right)$。需要推导：
$$
\mathbb{E}\left[ \left| \frac{1}{m} A^T A - I_n \right| \right] \leq C K^2 \left( \sqrt{\frac{n}{m}} - \frac{n}{m} \right)
$$

我的尝试

我定义了$X = \frac{1}{K^2} \left| \frac{1}{m} A^T A - I_n \right|$，根据习题提示应用了积分恒等式：
$$
\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{\infty} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta = \int_{0}^{1} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta + \int_{1}^{\infty} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta
$$
通过变量替换，将第二个积分转化为：
$$
\int_{1}^{\infty} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta = \int_{1}^{\infty} 2\delta \mathbb{P}[X > \delta^2] d\delta
$$
因此有：
$$
\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{1} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta + \int_{1}^{\infty} 2\delta \mathbb{P}[X > \delta^2] d\delta
$$
代入集中不等式并做变量替换后，得到：
$$
\int_{0}^{1} \mathbb{P}[X > \delta] d\delta + \int_{1}^{\infty} 2\delta \mathbb{P}[X > \delta^2] d\delta \leq \int_{-\sqrt{n}}^{\frac{\sqrt{m}}{C} - \sqrt{n}} 2e^{-t2} \frac{C}{\sqrt{m}} dt + \int_{\frac{\sqrt{m}}{C} - \sqrt{n}}^{\infty} 2 \cdot \frac{C}{\sqrt{m}}(\sqrt{n} + t) \cdot 2e^{-t2} \cdot \frac{C}{\sqrt{m}} dt
$$
我尝试整理被积函数中正比于$e^{-t2}$的项，但感觉没什么进展。想问问这个方向是对的吗？有没有后续处理的思路？