正交规范基下内积重写与向量分解公式的相关疑问

大家好，我最近在研究有限维内积空间里正交规范基的性质时，碰到了一个让我困惑的矛盾点，想跟大家一起探讨下：

假设我们有有限维内积空间$V$的一个正交规范基$B = { \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \dots, \boldsymbol{b_{n}} }$，按照资料里的说法，每个$\boldsymbol{v} \in V$都可以写成：
$$\boldsymbol{v} = \langle \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{v} \rangle \boldsymbol{b_{1}} + \langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle \boldsymbol{b_{2}} + \dots + \langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle \boldsymbol{b_{n}}$$
对应的坐标向量应该是：
$$[\boldsymbol{v}]{B} = \bigg(\langle \boldsymbol{b{1}}, \boldsymbol{v} \rangle, \langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle, \dots, \langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle \bigg)$$
也就是每个坐标分量$v_i = \langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle$。

初始推导的矛盾 #

我尝试展开两个向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$的内积$\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle$，结果得到了两种不一样的表达式：

第一种推导方式

先把$\boldsymbol{u}$用基$B$展开，再利用内积的线性性质：
$$
\begin{align}
\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle &= \bigg\langle u_{1} \boldsymbol{b_{1}} + u_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + u_{n} \boldsymbol{b_{n}}, \ \boldsymbol{v} \bigg\rangle \ \
&= u_{1} \langle \boldsymbol{b_{1}},\boldsymbol{v} \rangle + u_{2} \langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle + \dots + u_{n} \langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{v} \rangle \
\end{align}
$$
这里我下意识把$\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle$替换成了坐标$v_i$，于是得到：
$$
\begin{align}
\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle &= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{v} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} \
&= [\boldsymbol{u}]{B} \cdot [\boldsymbol{v}]{B}
\end{align}
$$
这样$V$中两个向量的内积就等于它们在基$B$下坐标向量的点积。

第二种推导方式

如果我不急于替换，而是把$\boldsymbol{v}$也用基展开后继续推导：
$$
\begin{align}
\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle &= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{v} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \bigg\langle \boldsymbol{b_{i}}, \ v_{1} \boldsymbol{b_{1}} + v_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + v_{n} \boldsymbol{b_{n}} \bigg\rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \bigg( \overline{v_{1}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{1}} \rangle + \overline{v_{2}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{2}} \rangle + \dots + \overline{v_{n}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{n}} \rangle \bigg) \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \bigg( \sum_{j = 1}^{n} \overline{v_{j}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{j}} \rangle \bigg) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} u_{i} \overline{v_{j}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{j}} \rangle
\end{align}
$$
因为正交规范基满足$\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{b_i} \rangle = 1$，当$i \neq j$时$\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{b_j} \rangle = 0$，所以只有$i=j$时的项是非零的，化简后得到：
$$
\begin{align}
\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle &= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} u_{i} \overline{v_{j}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{j}} \rangle = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \overline{v_{i}} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \overline{v_{i}}
\end{align}
$$

这两种推导得到了不同的结果，这意味着要么$v_i = \overline{v_i}$（也就是$\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_i} \rangle$），要么我其中一种推导出错了？我现在不确定是第一种方法错了（不该直接替换），第二种方法错了（展开时出错），还是两种都错了？

第一次修正：向量分解公式的错误 #

后来看了@RyeCatcher的评论，我意识到问题出在最开始的向量分解公式上——我之前默认的$\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_i} \rangle$是不成立的，正确的分解应该包含复共轭。

我猜测正确的向量分解应该是：
$$\boldsymbol{v} = \overline{\langle \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{1}} + \overline{\langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + \overline{\langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{n}} = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{1}} \rangle \boldsymbol{b_{1}} + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{2}} \rangle \boldsymbol{b_{2}} + \dots + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{n}} \rangle \boldsymbol{b_{n}}$$
对应的坐标分量应该是$v_i = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_i} \rangle$，而$\overline{v_i} = \langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle$。

用这个正确的分解再去做第一种推导：
$$
\begin{align}
\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle &= \bigg\langle u_{1} \boldsymbol{b_{1}} + u_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + u_{n} \boldsymbol{b_{n}}, \ \boldsymbol{v} \bigg\rangle \ \
&= u_{1} \langle \boldsymbol{b_{1}},\boldsymbol{v} \rangle + u_{2} \langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle + \dots + u_{n} \langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{v} \rangle \
&= \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \overline{v_{i}}
\end{align}
$$
这样就和第二种推导的结果完全一致了，矛盾解决了。但我又产生了新的疑问：

• 这个新的向量分解公式是正确的吗？
• 如果它是对的，那为什么有些资料里写的是$\boldsymbol{v} = \sum_{\boldsymbol{b} \in B} \langle \boldsymbol{b},\boldsymbol{v} \rangle \boldsymbol{b}$，而我们这里需要加上复共轭变成$\boldsymbol{v} = \sum_{i=1}^n \overline{\langle \boldsymbol{b_i}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_i}$？这是不是和数学、物理领域的内积定义习惯不同有关？

第二次验证：换方向推导分解公式 #

为了确认这个分解公式的正确性，我换了个方向推导：
因为$B = { \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \dots, \boldsymbol{b_{n}} }$是$V$的基，所以每个$\boldsymbol{v} \in V$都可以唯一表示为：
$$\boldsymbol{v} = v_{1} \boldsymbol{b_{1}} + v_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + v_{n} \boldsymbol{b_{n}}$$
我们来计算$\sum_{i=1}^n \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_i} \rangle \boldsymbol{b_i}$：
$$
\begin{align}
\overline{\langle \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{1}} + \overline{\langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + \overline{\langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{v} \rangle} \boldsymbol{b_{n}} &= \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{1}} \rangle \boldsymbol{b_{1}} + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{2}} \rangle \boldsymbol{b_{2}} + \dots + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{n}} \rangle \boldsymbol{b_{n}} \
&= \sum_{i=1}^n \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} \
&= \sum_{i=1}^n \langle v_{1} \boldsymbol{b_{1}} + v_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + v_{n} \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} \
&= \sum_{i=1}^n \bigg( v_{1} \langle \boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} + v_{2} \langle \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} + \dots + v_{n} \langle \boldsymbol{b_{n}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} \bigg) \
&= \sum_{i=1}^n v_{i} \langle \boldsymbol{b_{i}}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}} = \sum_{i=1}^n v_{i} \boldsymbol{b_{i}} \
&= v_{1} \boldsymbol{b_{1}} + v_{2} \boldsymbol{b_{2}} + \dots + v_{n} \boldsymbol{b_{n}} \
&= \boldsymbol{v} \ \
\text{因此我们得到：} &
\boldsymbol{v} = \sum_{i=1}^n \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{b_{i}} \rangle \boldsymbol{b_{i}}
\end{align}
$$
正如@Arturo Magidin在评论里提到的，这个公式在物理领域的内积定义习惯下是正确的，但在数学领域的习惯里则不是？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者the thinker