关于求解极限$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(2x^2-2x+1)+\arcsin{2x}}{(\sqrt{1-4x}-1)(1-\cos(2x))}$的疑问及通用解法请求

提问者的尝试与困惑 #

我最近在计算这个极限：
$$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(2x^2-2x+1)+\arcsin{2x}}{(\sqrt{1-4x}-1)(1-\cos(2x))}$$

首先我想到先处理分母里的根号，做了有理化操作：
$$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\left[\ln(2x^2-2x+1)+\arcsin(2x)\right]\left(\sqrt{1-4x}+1\right)}{(1-4x-1)(1-\cos(2x))}$$

化简后我尝试把极限拆成两个部分的和：
$$L\color{red}{\stackrel{?}{\color{red}{=}}}-\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(2x^2-2x+1)}{x(1-\cos(2x))}-\dfrac12\dfrac{\arcsin(2x)}{x(1-\cos(2x))}=-\dfrac12L_1-\dfrac12L_2$$

但后来发现第一个极限$L_1$的结果是$-\infty$，这说明我刚才的拆分是不成立的：
$$L_1=
\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(2x^{2-2x+1)}{x(1-\cos(2x))}\cdot\dfrac{2x}2-2x}{2x^{2-2x}=2\lim_{x\to0}\dfrac{x-1}{1-\cos(2x)}\=\lim_{x\to0}\dfrac{x-1}{\sin}2x}\cdot\dfrac{x^2}{x2}=-\infty.$$

（这里补充一下，因为前面有$-\dfrac12$的系数，所以这部分会变成$+\infty$，不过本质上还是说明拆分的思路行不通）

现在我卡住了——如果不能拆分这个极限的话，我实在不知道该怎么往下走。我想要的是一种不需要特殊拆分技巧的通用解法，思路最好直观一点，麻烦各位大佬帮忙指点一下！

专家解答：利用泰勒展开的通用思路 #

其实不用强行拆分，我们可以直接对分子分母的各个部分做泰勒展开（这是处理0/0型极限最通用的思路之一，步骤清晰且不容易出错）：

首先先把有理化后的式子再化简一下：
分母有理化后，$(1-4x-1)=-4x$，而$\sqrt{1-4x}+1$当$x\to0$时的极限是2，先把这个常数部分提出来：
$$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\left[\ln(2x^{2-2x+1)+\arcsin(2x)\right]\cdot2}{-4x\cdot(1-\cos(2x))}=-\dfrac{1}{2}\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(2x}2-2x+1)+\arcsin(2x)}{x\cdot(1-\cos(2x))}$$

接下来我们把分子的两个部分都展开到足够阶数，让低阶抵消项显现：

1. 对于$\ln(1+t)$的泰勒展开（$t\to0$）：$\ln(1+t)=t-\dfrac{t^{2}{2}+\dfrac{t}3}{3}-\cdots$，这里$t=2x^2-2x$，代入得：
   $$\ln(2x^{2-2x+1)=(-2x+2x}2)-\dfrac{(-2x+2x²⁾2}{2}+\dfrac{(-2x+2x²⁾3}{3}-\cdots=-2x+4x^3+\text{高阶无穷小}$$
2. 对于$\arcsin t$的泰勒展开（$t\to0$）：$\arcsin t=t+\dfrac{t^{3}{6}+\dfrac{3t}5}{40}+\cdots$，这里$t=2x$，代入得：
   $$\arcsin(2x)=2x+\dfrac{(2x)^{3}{6}+\cdots=2x+\dfrac{4x}3}{3}+\text{高阶无穷小}$$

把这两个展开式相加，低阶的$-2x$和$2x$正好抵消，剩下的主项是：
$$\ln(...)+\arcsin(...)=4x^3+\dfrac{4x3}{3}+\text{高阶无穷小}=\dfrac{16}{3}x^3+\text{高阶无穷小}$$

再处理分母部分：
$1-\cos(2x)$的泰勒展开是$2x^2-\dfrac{2x4}{3}+\cdots$，所以分母$x\cdot(1-\cos(2x))$的主项是$x\cdot2x^2=2x3$。

现在把主项代入极限式：
$$L=-\dfrac{1}{2}\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{16}{3}x^3}{2x3}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{16}{3}\times\dfrac{1}{2}=-\dfrac{4}{3}$$

关键思路总结 #

• 不要轻易拆分极限：只有当拆分后的各个极限都为有限值时，拆分才成立，像这种$\infty-\infty$型的不定式，拆分只会得到错误结果；
• 泰勒展开是通用解法：对于0/0型极限，把分子分母都展开到足够阶数，抵消掉低阶的抵消项，剩下的主项比值就是极限，不需要特殊技巧；
• 预处理优先：先做有理化、通分等操作简化式子，再进行展开，能减少计算量。

这样是不是就很直观了？按部就班展开到合适阶数就能得到正确结果啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Student