求证ℝ²中欧几里得收敛但向日葵度量下不收敛于x的序列在向日葵度量下无极限
嘿，这个问题咱们可以从向日葵度量的核心定义出发，结合已知条件一步步推导矛盾，就能证明这样的序列在向日葵度量下不可能有极限。咱们先理清楚已知前提：
设序列$(x_n)$满足两个条件：
- 欧氏度量下$\lim_{n\to\infty} x_n = x$，也就是$\lVert x_n - x \rVert \to 0$；
- 向日葵度量下$(x_n)$不收敛到x——换句话说，存在某个固定的$\epsilon_0 > 0$，有无穷多个$n$使得$d_{sf}(x_n, x) \geq \epsilon_0$。
首先先排除一个特殊情况：如果$x$是原点$(0,0)$，那向日葵度量$d_{sf}(x_n, 0)$其实就等于欧氏范数$\lVert x_n \rVert$，这时候欧氏收敛到0必然意味着向日葵度量也收敛到0，和条件2矛盾，所以咱们要讨论的序列对应的$x$一定不是原点。
接下来，根据向日葵度量的定义，$d_{sf}(x_n, x)$只有两种可能：
- 如果$x_n$和$x$在过原点的同一条直线上，$d_{sf}(x_n, x) = \lVert x_n - x \rVert$；
- 否则，$d_{sf}(x_n, x) = \lVert x_n \rVert + \lVert x \rVert$。
因为序列在欧氏下收敛到$x$，所以$\lVert x_n \rVert \to \lVert x \rVert$（欧氏范数是连续的）。那为什么序列在向日葵度量下不收敛到$x$呢？肯定是因为有无穷多个$x_n$不在过原点和$x$的直线上——如果绝大多数$x_n$都和$x$共线，那$d_{sf}(x_n,x)=\lVert x_n -x \rVert \to 0$，就会收敛到$x$了。也就是说，存在一个无穷子列$(x_{n_k})$，每个$x_{n_k}$都不在过原点和$x$的直线上，对应$d_{sf}(x_{n_k}, x) = \lVert x_{n_k} \rVert + \lVert x \rVert$，而这个值会趋向于$\lVert x \rVert + \lVert x \rVert = 2\lVert x \rVert > 0$，这就是条件2里的$\epsilon_0$的来源。
现在咱们用反证法：假设这个序列$(x_n)$在向日葵度量下有某个极限$y$，也就是$\lim_{n\to\infty} d_{sf}(x_n, y) = 0$，咱们来推出矛盾。
根据向日葵度量的定义，$d_{sf}(x_n, y)$也只有两种可能：
- 若$x_n$和$y$共线过原点，则$d_{sf}(x_n, y) = \lVert x_n - y \rVert$；
- 否则，$d_{sf}(x_n, y) = \lVert x_n \rVert + \lVert y \rVert$。
先看第二种情况：如果有无穷多个$n$使得$d_{sf}(x_n,y)=\lVert x_n \rVert + \lVert y \rVert$，那这个值会趋向于$\lVert x \rVert + \lVert y \rVert$（因为$\lVert x_n \rVert \to \lVert x \rVert$），但$d_{sf}(x_n,y)\to0$，所以必须$\lVert x \rVert + \lVert y \rVert = 0$，也就是$x=y=0$，但咱们已经知道$x≠0$，这就矛盾了。
那只能是第一种情况：当$n$足够大时，所有$x_n$都和$y$共线过原点。这时候，那个无穷子列$(x_{n_k})$也都在过原点和$y$的直线上。但咱们之前说过，$(x_{n_k})$都不在过原点和$x$的直线上，这说明过原点和$y$的直线，跟过原点和$x$的直线不是同一条。
但别忘了，序列在欧氏度量下收敛到$x$，也就是$x_{n_k} \to x$。而过原点和$y$的直线是欧氏空间中的闭集（直线上的点列收敛，极限必然在直线上），所以$x$也必须在这条直线上——这就矛盾了！因为如果$x$在过原点和$y$的直线上，那$(x_{n_k})$也在这条直线上，意味着$(x_{n_k})$和$x$共线过原点，但咱们之前明确说过，$(x_{n_k})$都不在过原点和$x$的直线上，这就自相矛盾了。
换个更直观的角度：如果$y$是极限，那当$n$足够大时，$d_{sf}(x_n,y)$要小于$\frac{\lVert x \rVert}{2}$（因为$x≠0$，这个值是正的）。如果$x_n$和$y$不共线，那$d_{sf}(x_n,y)=\lVert x_n \rVert + \lVert y \rVert$，而当$n$足够大时$\lVert x_n \rVert > \frac{\lVert x \rVert}{2}$，所以这个值肯定大于$\frac{\lVert x \rVert}{2}$，不可能满足小于它的要求。所以只能是$x_n$和$y$共线，那$x$也必须和$y$共线（因为$x_n\to x$），这时候$x_n$和$x$共线，$d_{sf}(x_n,x)=\lVert x_n -x \rVert \to0$，也就是序列在向日葵度量下收敛到$x$，这和已知的“不收敛到$x$”矛盾。
综上，假设不成立，也就是说这样的序列在向日葵度量下根本不存在极限。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex A.G.
