判断联合密度函数下随机变量X与Y的独立性及积分边界疑问

已知随机向量$(X,Y)$的联合密度函数为：
$$
f(x,y) =\begin{cases}
\pi^{-1} \quad x^2 + y^2\leq 1 \
0 \quad \text{elsewhere}
\end{cases}
$$
请问X和Y是否独立？

我的思路：
我知道当$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$时，X和Y独立。
所以我打算对x从$-\infty$到1积分，对y从$-\infty$到1积分，然后把两个结果相乘，看是否等于$f(x,y)$。这个思路对吗？我尤其不确定积分的边界。

嗨，你的核心思路——通过对比联合密度和边缘密度的乘积来判断独立性——是完全正确的，但积分边界确实搞错了，咱们一步步来理清楚：

• 明确边缘密度的积分边界逻辑
  边缘密度$f_X(x)$是联合密度$f(x,y)$对$y$在整个实数域上的积分，同理$f_Y(y)$是对$x$的积分。关键是要紧扣联合密度的非零区域：单位圆$x^2+y2 \leq1$，来确定每个积分的有效范围。

  • 对于$f_X(x)$：只有当$x \in [-1,1]$时，存在对应的$y$满足$x^2+y2 \leq1$，此时$y$的取值区间是$[-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2}]$；当$x$超出$[-1,1]$时，积分结果直接为0。
  • 对于$f_Y(y)$：同理，只有$y \in [-1,1]$时，$x$的取值区间是$[-\sqrt{1-y^2}, \sqrt{1-y^2}]$，否则积分结果为0。

• 具体计算边缘密度
  计算$f_X(x)$：
  $$
  f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \begin{cases}
  \int_{-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} dy = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, & x \in [-1,1] \
  0, & \text{其他}
  \end{cases}
  $$
  计算$f_Y(y)$：
  $$
  f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \begin{cases}
  \int_{-\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-y^2}} \frac{1}{\pi} dx = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, & y \in [-1,1] \
  0, & \text{其他}
  \end{cases}
  $$

• 验证独立性
  咱们随便取单位圆内一个点，比如$(0,0)$：
  $f(0,0) = \frac{1}{\pi}$，而$f_X(0)f_Y(0) = \frac{2}{\pi} \times \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}$，显然$\frac{1}{\pi} \neq \frac{4}{\pi^2}$，这就说明联合密度不等于两个边缘密度的乘积，X和Y不独立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amy A