耦合非线性一阶常微分方程组求解方法及参考文献咨询

您好！针对您提出的这套耦合非线性一阶常微分方程组：

$$
\dot{x}(t) = -kx(t) + a x(t) + b y(t) + c x(t)y(t)\
\dot{y}(t) = -py(t) - a x(t) - b y(t) - c x(t)y(t)
$$

您已经发现当$k=p=0$时，利用$x+y=常数$的守恒量可以求解，且此时解具有单调性。您提到的那篇2020年的预印本方法不适用，那我给您几个不同方向的思路和参考资料，希望能帮到您：

• 守恒量拓展与变量替换：除了$k=p=0$时的守恒量，不妨先把两个方程相加，得到$\dot{x} + \dot{y} = -kx - py$，令$z=x+y$，则式子变为$\dot{z} = -kx - p(z - x) = -(k-p)x - pz$。如果$k≠p$，可以结合原方程组中的某一个方程消去变量，将系统转化为仅含两个变量的ODE，再尝试寻找合适的变量替换（比如令$u=\frac{x}{z}$这类比例变量）来简化方程。

• 定性分析方法（无需精确解）：如果您更关注解的行为（比如稳定性、单调性、长期趋势），可以先求解方程组的平衡点（令$\dot{x}=\dot{y}=0$），对平衡点做线性化分析判断其类型，再绘制相图直观理解解的演化。这方面可以参考*《常微分方程定性理论》*（张芷芬等著），书中有大量耦合非线性系统的定性分析案例与方法。

• 精确解法参考：这类含$cxy$交叉项的多项式型非线性ODE系统，可尝试通过**李对称（Lie Symmetry）*构造解析解，或者寻找特殊的变量分离变换。比如假设$y=f(x)$，将原方程组转化为分式型一阶ODE：
  $$
  \frac{dy}{dx} = \frac{-py -ax -by -cxy}{-kx +ax +by +cxy}
  $$
  整理后尝试用变量替换（如$u=xy$或$u=x+y$）简化。相关的权威参考书籍可以看《Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations》*（Polyanin & Zaitsev 编著），里面收录了大量非线性ODE的精确解法与实例。

• 数值解法辅助：如果解析解难以直接推导，可以先用数值方法（比如Runge-Kutta法）计算不同参数下的解，观察解的行为规律，反过来为寻找解析解提供方向。常用的工具比如Matlab的ode45或Python的scipy.integrate.solve_ivp都能快速实现数值求解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M_kaj