关于双色顶点无特定对角线异色矩形构型立方体计数的系统性方法问询及可行性探讨

先从二维的简单情况说起：我们可以统计顶点仅为红色或蓝色的正方形总数，再排除掉那些一条对角线全蓝、另一条对角线全红的特殊构型，很轻松就能算出是$16-2=14$个。

到了三维立方体的情况就复杂一些了：我们要统计的是顶点仅染成红或蓝，且不存在任何由四个顶点构成的矩形（不仅限于立方体表面的矩形）满足一条对角线异色、另一条对角线也异色的立方体构型数量。目前我用暴力枚举的程序算出这个数是$104$。这里需要明确一点：立方体的朝向是有区分度的——也就是说，两个能通过旋转或反射完全重合的立方体，我们会视为不同的构型分别计数。

现在我有两个核心问题想请教大家：

• 有没有办法用类似容斥原理这类系统性的数学方法，而不是暴力枚举，来得到这个$104$的结果？
• 首先，这种系统性的计数方法从理论上来说是否可行？

最后补充一点背景信息：我之前（从别处转载）发布过一个关于猜想的问题，内容是：满足上述性质的超立方体，其实和线性可分布尔函数是同一类对象，这类函数的计数对应OEIS序列A000609。如果这个猜想成立（我觉得大概率是对的），而且我们能找到满足该性质的超立方体的系统性计数方法，那我们就能推导出A000609的通项公式，至少能算出更多的序列项。不过也正因为这个潜在的价值，这个计数方法可能很难构造出来，但我还是希望这个猜想不是尚未解决的难题，也不想因为这点打消大家给出思路的积极性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fabius Wiesner