度量空间中连续函数与序列收敛等价性证明的正确性验证问询

我最近在复习度量空间的相关概念，想请大家帮忙看看下面这个证明在技术上是否正确。

先明确一下符号定义：

• 设$(X,d_X)$是度量空间，$d_X$是定义在$X$上的度量函数
• 开球$B_{\varepsilon}(x_0)={x\in X | d_X(x,x_0)<\varepsilon}$：即以$x_0$为中心、$\varepsilon$为半径的开球

待验证命题 #

设$(X,d_X)$和$(Y,d_Y)$是度量空间，考虑函数$f\colon X\longrightarrow Y$。则$f$在$x_0\in X$处连续当且仅当：对任意满足$x_i\to x_0$的序列$x_i\in X$，都有$f(x_i)\to f(x_0)$。

我给出的证明 #

必要性（连续 ⇒ 序列收敛保持） #

取定$x_0\in X$，任取序列$x_i\in X$且$x_i\to x_0$。
因为$f$在$x_0$处连续，根据连续性的$\varepsilon-\delta$定义：对任意给定的$\varepsilon >0$，存在$\delta>0$，使得$f(B_{\delta}(x_0))\subset B_{\varepsilon}(f(x_0))$。
又因为$x_i\to x_0$，对上述找到的$\delta>0$，存在正整数$i_0\in\mathbb{N}$，使得当$i\geq i_0$时，$x_i$必然落在开球$B_{\delta}(x_0)$内。
由此可得$f(x_i)\in B_{\varepsilon}(f(x_0))$，这就证明了$f(x_i)\to f(x_0)$。

充分性（序列收敛保持 ⇒ 连续） #

这里我用了反证法：假设$f$在$x_0\in X$处不连续。
根据连续性的否定形式，这意味着存在某个固定的$\varepsilon>0$，使得对任意正整数$n\in\mathbb{N}$，都能找到$x_i\in X$（注：原文此处符号有小疏漏，逻辑上对应$n$取$x_n$更严谨，但核心推导不变）满足：$d_X(x_i,x_0)<1/n$，但$d_Y(f(x_i),f(x_0))\geq\varepsilon$——也就是$x_i$在开球$B_{1/n}(x_0)$里，但$f(x_i)$不在$B_{\varepsilon}(f(x_0))$里。
但根据题设的条件，所有收敛到$x_0$的序列，其像都要收敛到$f(x_0)$，而这里构造出的序列$x_i$显然满足$x_i\to x_0$，但$f(x_i)$却不收敛到$f(x_0)$，这就和题设矛盾了。

$\blacksquare$

请问这个证明在技术细节上是正确的吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joel Marques