关于洛必达法则在∞/∞型极限中的应用及相关极限求解思路的疑问
嗨，很高兴能帮你理清这两个关于极限的疑问！
一、洛必达法则为何适用于∞/∞型极限
你最初的认知可能只记住了洛必达法则最常见的0/0型，但实际上洛必达法则本身就包含两种核心适用场景：除了$\frac{0}{0}$型未定式，$\frac{\infty}{\infty}$型（包括正无穷比正无穷、负无穷比负无穷）也是完全符合法则适用条件的。
大多数微积分教材都会明确说明这一点：当$x \to a$（或$x \to \infty$）时，若$f(x)$和$g(x)$都趋向于无穷大（同号），且$g'(x) \neq 0$在$a$的邻域内（或当$|x|$足够大时），同时$\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为无穷大），那么$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$。所以视频里用洛必达法则处理$\frac{\infty}{\infty}$型是完全合理的。
二、你的极限推导思路存在的问题
你提出的“$\lim_{x\to \infty} \frac{1}x = 0$，所以$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{1}{x}} = x^0 = 0$”这个推导是错误的，核心问题在于错误地拆分了未定式的极限。
当我们要计算形如$\lim [f(x)]^{g(x)}$的极限时，只有在$\lim f(x)$和$\lim g(x)$都存在，且$\lim f(x) > 0$（避免出现$00$、$\infty0$、$1^\infty$这类未定式）的情况下，才能直接将极限代入底数和指数。而这里$x \to \infty$时，$\lim x = \infty$，$\lim \frac{1}{x} = 0$，属于$\infty^0$型未定式，不能直接套用“底数取极限、指数取极限”的操作。
正确的做法通常是先取自然对数转化为分式极限：
令$y = x^{\frac{1}{x}}$，则$\ln y = \frac{\ln x}{x}$。当$x \to \infty$时，$\ln x \to \infty$，$x \to \infty$，属于$\frac{\infty}{\infty}$型，这时候就可以用洛必达法则：
$$\lim_{x\to \infty} \ln y = \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
因为$\lim_{x\to \infty} \ln y = 0$，而指数函数$e^x$是连续的，所以$\lim_{x\to \infty} y = e^0 = 1$，也就是原极限的结果是1，而非0。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ItsTheMCGamer
