求ℝ⁴中与两个给定向量正交的子空间的基

我完全懂这种卡题卡到心态爆炸的感觉，咱们慢慢来，不用矩阵行化简也能把这个问题搞明白～

先顺着你已经想到的思路走：我们要找的向量$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)$需要和$\vec{n_1}$、$\vec{n_2}$都正交，那先把两个点积的方程写清楚：

• $\vec{x} \cdot \vec{n_1} = x_1 - x_3 = 0$
• $\vec{x} \cdot \vec{n_2} = x_1 + x_3 = 0$

把这两个方程联立起来解：

1. 从第一个方程得到$x_1 = x_3$
2. 把$x_1=x_3$代入第二个方程，就有$x_3 + x_3 = 2x_3 = 0$，所以$x_3=0$，进而$x_1=0$

现在看剩下的$x_2$和$x_4$——你会发现这两个变量没有任何约束条件，因为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$的第2、4分量都是0，不管$x_2$、$x_4$取什么实数，点积都会是0。

那我们可以把所有满足条件的$\vec{x}$拆成这样的形式：
$$\vec{x} = x_2\begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}0 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix}$$

接下来验证这两个向量是不是符合基的要求：

• 线性无关：假设$a\begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}0 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \ 0 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$，一眼就能看出只有$a=0$且$b=0$时等式成立，所以它们线性无关。
• 张成子空间：刚才的推导已经说明，所有和$\vec{n_1}$、$\vec{n_2}$正交的向量，都能写成这两个向量的线性组合——因为$x_2$和$x_4$可以取任意实数，它们的组合就能覆盖所有符合要求的向量。

所以这个子空间的一个基就是$\left{ \begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix} \right}$。

你之前困惑的“怎么证明在span里”，其实就是把所有满足条件的向量都表示成基向量的线性组合，刚才的拆解已经完成这一步啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathlova1122