关于常微分方程解的有限时间爆破及解的非唯一性的证明咨询

安全阿岳

2026-4-20

嗨，我来帮你把这个问题的思路理得更清楚些，咱们一步步来拆解：

一、先锚定已知的关键观察

首先你找的方向完全没错：

$x(t) \equiv 0$是满足初始条件$x(0)=0$的全局解，这是第一个明确的解；
函数$g(t,x)=t^2x3 \sin\left(\frac{1}{t^3x}\right)$（补充定义$g(t,0)=g(0,x)=0$）在$(-1,1)\times\mathbb{R}$上连续，但确实不满足局部Lipschitz条件——这是解可能不唯一的核心原因，毕竟Picard-Lindelöf定理的局部唯一性结论，正是依赖于局部Lipschitz这个前提，不满足的话就存在多解的空间。

我们可以通过构造具体序列，证明$g(t,x)$关于$x$的偏导数在$(0,0)$附近无界，从而推导出它不满足Lipschitz条件：

先算$g(t,x)$关于$x$的偏导数（当$t\neq0,x\neq0$时）：
$$
\partial_x g(t,x) = 3t^2x2\sin\left(\frac{1}{t^3x}\right) - \frac{x}{t}\cos\left(\frac{1}{t^3x}\right)
$$
构造序列$(t_n, x_n) = \left( \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n} \right)$，当$n$趋向无穷大时，这个序列会趋近于$(0,0)$：
- 第一项$3t_n^2x_n2\sin\left(\frac{1}{t_n^3x_n}\right) = 3\cdot\frac{1}{n^{4}\cdot\frac{1}{n}2}\cdot\sin(n^7)$，当$n\to\infty$时这一项会趋近于0；
- 第二项$-\frac{x_n}{t_n}\cos\left(\frac{1}{t_n^3x_n}\right) = -n\cdot\cos(n^{7)$，它的绝对值会随着$n$增大趋向无穷大，因为$\cos(n}7)$会在$-1$到$1$之间振荡，乘以$n$后振幅会无限放大。
这就说明$g(t,x)$关于$x$的偏导数在$(0,0)$附近是无界的，而Lipschitz条件要求偏导数在紧集上有界（凸紧集上），因此$g(t,x)$肯定不满足局部Lipschitz条件。

要证明存在解在有限时间爆破，用比较定理是最直接的方法：

当$x>0$且足够大时，$\frac{1}{t^3x}$会变得足够小（毕竟$t\in(0,1)$，$x$趋向无穷大），而我们知道当$z\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$\sin(z)\geq\frac{2z}{\pi}$，因此：
$$
\sin\left(\frac{1}{t^3x}\right) \geq \frac{2}{\pi t^3x}
$$
把这个不等式代入原方程右边，就能得到一个下界估计：
$$
\dot{x}(t) = t^2x3\sin\left(\frac{1}{t^3x}\right) \geq t^2x3 \cdot \frac{2}{\pi t^3x} = \frac{2x^2}{\pi t} \geq \frac{2x^2}{\pi}
$$
这里因为$t\in(0,1)$，所以$\frac{1}{t}\geq1$，可以进一步简化下界。
现在看这个比较方程$\dot{y}(t) = \frac{2y^2}{\pi}$，初始条件取$y(0)=x_0>0$，它的解是：
$$
y(t) = \frac{x_0}{1 - \frac{2x_0t}{\pi}}
$$
这个解会在$t = \frac{\pi}{2x_0}$时趋向无穷大，也就是有限时间爆破。如果我们取$x_0 > \frac{\pi}{2}$，那么爆破时间$T = \frac{\pi}{2x_0} < 1$，正好落在区间$[-1,1]$内。
根据比较定理，原方程的解$x(t)\geq y(t)$，所以当$t$趋向$T^-$时，$x(t)$会趋向正无穷，也就是这个解在有限时间内爆破了。

现在我们有了两个不同的解：

从你提供的相图也能直观看到，部分初始值对应的解会在有限时间内快速增长到无穷大，完全符合我们的推导结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者prolea