二元函数双路径极限存在性判定咨询

你完全可以得出原极限不存在的结论，而且你的思路非常正确！

二元函数在某点的极限存在的核心要求是：当$(x,y)$以任意方式趋近于该点时，函数值必须收敛到同一个有限的实数。这里的“收敛”是指向一个确定的、有限的数值，无穷大（不管正负）本身就代表函数值没有趋向一个稳定的有限值。

你通过两条不同路径$\gamma_{1}(t)=(t^{2,0)$和$\gamma_{2}(t)=(0,t}2)$计算得到的结果，一个趋向$+\infty$，一个趋向$-\infty$——这不仅不是同一个有限值，连趋向的趋势都完全相反，这已经直接满足了“极限不存在”的判定条件：只要存在两条不同路径，使得函数沿这两条路径的极限不相等（包括一个趋向正无穷、一个趋向负无穷这种情况），就可以直接判定原二元函数的极限不存在。

所以你的结论完全没问题，不用纠结“极限是不是得是实数”——恰恰因为这两条路径的结果都不是有限实数，还走向了相反的无穷，才更能说明原极限不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mvfs314