关于求解同时垂直于两个三维向量时设z为常数的疑问

嘿，我来帮你把这个点捋明白！先把你的问题和教材内容放出来：

我的教材里有这么个问题："Find a vector perpendicular to both (-1, 1, -3) and (-2, 3, -3)"
教材的解答里提到了“let z be a constant”（设z为常数），我搞不懂为啥要这么做，只能猜测这和两个给定向量的z坐标相同有关？

其实这个操作的核心逻辑很简单：垂直于两个不共线三维向量的向量，是一整条直线上的所有共线向量，也就是说解不是唯一的，有无数个。所以我们可以随便固定其中一个分量为常数，先求出一个具体的解，剩下的分量跟着推导就行。

你猜的方向完全没错！之所以选z来固定，就是因为这两个给定向量的z分量都是-3，这样在解方程组的时候会更省心：
假设我们要找的向量是(x, y, z)，它和两个给定向量都垂直，根据点积为0的规则，会得到两个方程：

1. -1*x + 1*y - 3*z = 0
2. -2*x + 3*y - 3*z = 0

你把这两个方程相减，就能直接消掉z相关的项（毕竟两个方程里z的系数一模一样），很快就能算出x和y的关系，再代入我们设定的z的常数值，就能轻松得到一个具体的垂直向量了。

当然啦，这只是个简化计算的小技巧而已——你其实也可以固定x或者y为常数，最终得到的向量本质上都是同方向的共线向量，只是固定z的话，因为原向量的z分量相同，消元步骤会更顺手罢了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者moon river