关于曲面积分中梯度与微分面元相关变换的疑问

我在教材里看到处理某一任意曲面积分时，有这样一步推导：
$$\int_S(\nabla\otimes\vec{v})\cdot d\vec{S}=\int_S\nabla(\vec{v}\cdot d\vec{S})$$

教材后面补充说明：“我们利用了这样一个事实：当存在缩并（点积）时，$\nabla$不对$d\vec{S}$作用。”

我现在有两个疑问：

• 微分面元矢量$d\vec{S}$是定义在$\mathbb{R}^3$的一个子集（积分曲面）上的，梯度算子$\nabla$在这里好像不应该有意义——因为如果我们往几乎任意方向迈一小步，就会离开曲面，那$d\vec{S}$在这个点就没有定义了。要让教材里的推导成立，这个场的梯度应该为零？为什么会这样？
• 为什么这种变换只在$d\vec{S}$参与缩并（点积）时才成立？比如换成叉积的话为什么就行不通？说不定搞懂这个能解答我的第一个问题？我现在完全没头绪。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Krum Kutsarov