四次曲线与椭圆曲线双有理等价的充分条件

你提到的这个问题其实是数论里四次曲线和椭圆曲线转化的经典问题，我结合你说的几本教材来给你拆解下：

首先明确核心结论：对于形如 $y^2=Ax4+Bx^3+Cx2+Dx+E$ 的四次曲线，只要存在一个有理点，就可以通过双有理变换将其转化为一个平面三次曲线。这一步的关键就是利用这个有理点做标准化操作——比如把有理点移到无穷远，或者基于这个点构造分式线性变换，这也是Silverman、Washington还有Cassels的书里共通的思路。

你问的“是不是只要有有理点就能转成三次曲线”，答案是肯定的。至于前两本书额外提到的“非奇异”要求，是针对最终要得到椭圆曲线这个目标的（毕竟椭圆曲线要求非奇异且亏格为1），但单论“四次转三次”这一步，有理点的存在就足够支撑完成变换。

你的后续思路完全没问题：先通过有理点把四次曲线转化为三次曲线，再去检查这个三次曲线是否非奇异——如果三次曲线非奇异，那它就是椭圆曲线（因为亏格为1的非奇异三次曲线就是椭圆曲线），也就意味着原四次曲线和该椭圆曲线双有理等价；如果三次曲线有奇点，那原四次曲线的亏格必然不是1，自然也没法和椭圆曲线双有理等价。

这里补充一点为什么前两本书会同时提“有理点存在”和“非奇异”：如果原四次曲线本身是奇异的，那哪怕有有理点，转化出来的三次曲线大概率也是奇异的，亏格会低于1，根本达不到椭圆曲线的要求。所以完整的逻辑链应该是：

• 第一步：四次曲线存在有理点 → 可以双有理转化为三次曲线；
• 第二步：检查转化后的三次曲线是否非奇异 → 非奇异则原四次曲线与椭圆曲线双有理等价，否则不成立。

Cassels的书里只提有理点，大概率是因为他默认了我们处理的是非奇异四次曲线，或者把奇点检查的环节放在了转化后的三次曲线验证步骤里，本质和前两本书的逻辑是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shanghaikid