多元最大值是否可表示为绝对值的线性组合？

嘿，先从一个广为人知的恒等式说起吧：对于任意实数 $a,b\in\mathbb R$，我们有
$$\max(a,b)=\frac{a+b}{2}+\left|\frac{a-b}{2}\right|. $$

那现在问题来了：假设整数 $n\ge 3$，我们能不能找到这样的实数 $a_{ij}\ (0\le i\le m,1\le j\le n)$，以及取值仅为 ${-1,1}$ 的 $b_i\ (1\le i\le m)$，使得对任意实数 $x_1,\cdots,x_n$，下面这个恒等式始终成立？
$$\max(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{j=1}^{na_{0j}x_j+\sum_{i=1}}m b_i\left|\sum_{j=1}^na_{ij}x_j\right|. $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cybcat