关于映射injective等价性证明的疑问及自我证明正确性验证

咱们一步步来理清楚你的疑问，先拆解书本证明的逻辑，再分析你的自我证明问题：

一、书本证明的结构澄清 #

原命题是**当且仅当（iff）**的双向等价关系，所以必须完成两个方向的证明，缺一不可：

1. 正向推导：若$f$是单射，则对所有$A \subseteq X$，$A = f^{-1}(f(A))$
   这部分你理解的是对的：书本先用已知命题3.14得到$A \subseteq f^{{-1}(f(A))$对任意$A$成立，再通过单射的定义证明反向包含$f}{-1}(f(A)) \subseteq A$，从而得到等式成立。
2. 反向推导：若对所有$A \subseteq X$，$A = f^{-1}(f(A))$，则$f$是单射
   这部分是独立的，是等价关系的必要条件证明——你之前误以为第一部分就够了，其实不然：iff命题需要同时证明“单射能推出等式”和“等式能推出单射”，只做一半的话，只能说明单射是等式成立的充分条件，无法确认它是必要条件，证明就不完整。

关于你对反向推导的误解 #

你提到“如果$A=X$，那$f(x')=f(x)$不直接推单射，因为可能是onto”——这里混淆了单射和满射的定义：

• 单射的核心是：对任意$x_1,x_2 \in X$，若$f(x_1)=f(x_2)$，则$x_1=x_2$，和$f$是不是满射（是否每个$Y$中的元素都有原像）完全无关。就算$f$是满射，只要满足这个条件就是单射（也就是双射）。
• 书本里取$A={x}$（单元素集），得到${x} = f^{{-1}(f({x}))$，而$f}{-1}(f({x}))$的定义是所有满足$f(x')=f(x)$的$x' \in X$的集合。这个等式直接意味着：满足$f(x')=f(x)$的$x'$只能是$x$本身，完美契合单射的定义，和$A$是不是$X$、$f$是不是满射没有任何关系。

二、你的自我证明的问题 #

你的证明存在几个关键漏洞，不能算作正确证明：

1. 符号错误：你写“Let $A=(x_1,x_2)$”，这里应该用集合符号$A = \{x_1, x_2\}$，圆括号通常表示有序对或开区间，不是集合。
2. 逻辑不完整：原命题要求对所有$A \subseteq X$成立，但你只验证了$A$是二元集合的情况，没有覆盖单元素集、空集、无限集等所有可能的子集，不符合“对所有$A$”的要求，证明不充分。
3. 推导逻辑瑕疵：你写“$(x_1 \neq x_2) \iff (f(x_1) \neq f(x_2))$”，其中$f(x_1)≠f(x_2) ⇒ x_1≠x_2$是所有函数都具备的性质（函数不允许一个$x$对应多个$y$，但允许多个$x$对应同一个$y$），单射的定义其实是单向的$x_1≠x_2 ⇒ f(x_1)≠f(x_2)$，等价于$f(x_1)=f(x_2) ⇒ x_1=x_2$，你写的双向iff是单射的等价表述，但没有正确应用到任意$A$的情况。

总结 #

• 书本的证明是完整的，双向推导都必须完成，第二部分的反向证明必不可少；
• 你的证明因为只验证了特殊情况，逻辑不完整，不能作为正确的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者enfield