为何只需获得点邻域内的全纯延拓即可推导出全局全纯延拓结论？

这个问题的关键其实藏在两个核心点里：D是连通开集（domain的定义），以及全纯函数的恒等定理！我来一步步给你掰明白：

首先先明确我们已经握在手里的条件：

• 对D里的每个点p，都能找到它的一个邻域U_p，在U_p上能把h延拓成全纯函数H_p（也就是H_p在U_p上全纯，且在U_p\E上和h完全一致）；
• 你已经证明了E是无处稠密的，所以D\E在D里是稠密的（简单说就是D里几乎每一点都不在E里）；
• D是连通的——这个是domain的默认属性，千万别漏了，这是能把局部结果推到全局的核心！

接下来咱们一步步把局部的“小延拓”拼成全局的“大延拓”：

第一步：先保证局部延拓之间不冲突 #

随便拿两个有重叠的邻域U_p和U_q，它们的交集U_p∩U_q是个开集。在这个交集里，去掉E的部分（也就是(U_p∩U_q)\E），H_p和H_q都等于h，所以这俩函数在这个子集上完全一样。
而因为E是无处稠密的，(U_p∩U_q)\E在U_p∩U_q里是稠密的——说白了就是这个交集中的绝大多数点都属于D\E。这时候全纯函数的恒等定理就该出场了：两个在开集上全纯的函数，如果在这个开集的一个稠密子集上相等，那它们在整个开集上必须完全相等。
所以H_p和H_q在U_p∩U_q上完全一致，不会出现“同一个点对应两个不同值”的矛盾，这就保证了我们可以把这些局部函数“无缝拼接”。

第二步：用连通性拼出全局函数 #

既然所有局部的延拓补丁在重叠区域都能完美衔接，那我们就可以直接定义全局函数H：对D里的任意点x，随便找一个包含x的邻域U_p，H(x)就等于H_p(x)。刚才的步骤已经保证了，不管你选哪个包含x的U_p，得到的H(x)都是同一个值，这个定义是绝对合理的。

第三步：验证全局函数的合法性 #

• 全纯性：随便取D里的一个点x，找它的邻域U_p，H在U_p上就是H_p，而H_p是全纯的，所以H在x点是全纯的。所有点都满足这个条件，那H在整个D上就是全纯的。
• 延拓的正确性：对任意x∈D\E，H(x)=H_p(x)=h(x)，完全符合“延拓”的要求——也就是H在D\E上和h完全一样。

最后再提一下唯一性 #

你之前已经提到过延拓是唯一的，这里再呼应一下：如果有两个不同的全局延拓，它们在D\E上都等于h，而D\E在D里是稠密的，根据恒等定理，这两个延拓必须在整个D上完全相等，所以这个全局延拓是唯一的。

总结一下为啥局部延拓足够：连通开集的性质是“任意两点都能通过一串重叠的邻域连起来”，而全纯函数的恒等定理保证了每一段邻域的延拓都能和下一段完美衔接，不会出任何矛盾，最后自然就覆盖了整个D啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anacardium