关于能否将泛*-代数的对合传递至其商代数的问题

嘿，我来拆解下你这个问题的来龙去脉，还有核心疑问的答案——

首先先对齐我们的前置逻辑：

• 给定有限生成的含幺复泛代数 $A_0 = \langle \mathcal{G} \mid \mathcal{R} \rangle$，任何满足同一组生成元和关系 $\mathcal{R}$ 的代数 $B$，都存在满代数同态 $\pi: A_0 \to B$，这是泛代数的基本性质，没毛病。
• 当关系集 $\mathcal{R}$ 里的所有关系都是生成元的回文式（不含复数系数）时，复共轭反代数 $\overline{A_0^{\text{opp}}}$ 也满足这些关系，这时候能诱导出一个映射 $r: A_0 \to A_0$——它是反线性的，对生成元满足 $r(g_1g_2)=g_2g_1$，而且是一个对合（involution，也就是运算）。给 $A_0$ 装上这个对合后，它就变成了-代数 $A$。

接下来是你的核心问题：能不能通过 $\pi(a)^* = \pi(r(a))$ 给商代数 $B$ 也装上对合结构？

答案是：只要这个定义是良定的，就完全可以！

这里的关键是“良定”——商代数里的元素是 $A_0$ 中元素的等价类：如果 $\pi(a_1)=\pi(a_2)$，意味着 $a_1 - a_2$ 属于同态的核 $\ker\pi$。这时候我们需要 $\pi(r(a_1)) = \pi(r(a_2))$，也就是 $r(a_1 - a_2) \in \ker\pi$。换句话说，要求 $\ker\pi$ 是 $A$ 的一个*理想：也就是对任意 $x \in \ker\pi$，都有 $r(x) \in \ker\pi$。

放到你的设定里看：

• 商代数 $B = A_0 / \ker\pi$，如果 $\ker\pi$ 在对合 $r$ 下是封闭的（也就是理想里的元素经过对合后还在理想里），那你定义的 $\pi(a)^* = \pi(r(a))$ 就不会有歧义，是个合法的对合运算，$B$ 也就成了*-代数。
• 比如如果 $B$ 是在 $A$ 的原有关系基础上，添加的新关系也都是回文式的，那对应的核理想自然在 $r$ 下封闭，这时候对合就能直接传递过去。
• 反过来，如果 $\ker\pi$ 不满足 $r(\ker\pi) \subseteq \ker\pi$，那这个定义就会出问题——同一个 $B$ 中的元素，可能对应到 $A_0$ 里不同的 $a_1,a_2$，但 $\pi(r(a_1))$ 和 $\pi(r(a_2))$ 不一样，这时候这个*运算就没法良定，自然不能这么装对合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JP McCarthy