模19同余问题：求解10¹⁰⁰≡9 (mod 19)的推导疑问

嗨，你前面的推导步骤完全没问题！咱们来一步步解开为什么$(-7)^{33} \equiv -1 \pmod{19}$，其实这里藏着一个关键的小规律：

先从7的幂次和19的关系入手：

• 计算$7^2 = 49$，减去2倍的19（$2×19=38$），得到$49-38=11$，所以$7^2 \equiv 11 \pmod{19}$
• 接着算$7^3 = 7×7^2 = 7×11=77$，减去4倍的19（$4×19=76$），得到$77-76=1$，所以**$7^3 \equiv 1 \pmod{19}$**

把负号代入进去：
$(-7)^3 = (-1)^3 × 7^3 = -1 × 1 = -1 \pmod{19}$

再看$(-7)^{{33}$，可以拆成$[(-7)}3]^{11}$，代入上面的结果就是：
$(-7)^{33} \equiv (-1)^{11} = -1 \pmod{19}$

把这个结果代回你之前的式子：
$10^{100} \equiv (-7)^{33} \cdot (-9) \equiv (-1) × (-9) = 9 \pmod{19}$

正好就得到了要证明的结果啦！是不是一下子就通顺了😉

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sara